Trinomio di secondo grado e scomposizione con Ruffini
Come scomporre i trinomi del tipo x² + sx + p cercando due numeri con somma e prodotto dati, il caso con coefficiente diverso da 1 e la scomposizione con la regola di Ruffini.
Il trinomio notevole
Moltiplichiamo due binomi del tipo \((x + a)(x + b)\):
\[(x + a)(x + b) = x^2 + bx + ax + ab = x^2 + (a + b)x + ab\]
Il coefficiente di \(x\) è la somma dei due numeri, il termine noto è il loro prodotto. Leggendo la formula al contrario si ottiene un metodo di scomposizione.
Conviene partire dal prodotto: le coppie di numeri interi con un certo prodotto sono poche, e tra quelle si cerca la coppia con la somma giusta.
Come scegliere i segni
Il segno del prodotto e della somma dice subito che segni hanno i due numeri.
Quando il coefficiente di \(x^2\) non è 1
Per un trinomio \(ax^2 + bx + c\) con \(a \neq 1\) si usa una variante.
Scomposizione con la regola di Ruffini
Per polinomi di grado più alto, quando nessun altro metodo funziona, si usa il teorema di Ruffini visto nella lezione sulla divisione.
Esercizi
Verifica veloce
Qual è la scomposizione di \(x^2 + 5x + 6\)?
\(2 + 3 = 5\) e \(2 \cdot 3 = 6\). La coppia \(1, 6\) ha il prodotto giusto ma somma \(7\).
Verifica veloce
In \(x^2 + 3x - 10\), che segni hanno i due numeri cercati?
Il prodotto \(-10\) è negativo, quindi i segni sono opposti; la somma \(+3\) è positiva, quindi prevale il positivo. I numeri sono \(5\) e \(-2\).
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