Scomposizione con i prodotti notevoli

Leggere le formule al contrario

I prodotti notevoli, letti da destra a sinistra, diventano formule di scomposizione. Il lavoro vero è riconoscere la struttura: capire che \(x^2 - 9\) è "un quadrato meno un quadrato", o che \(4a^2 + 4a + 1\) è "il quadrato di un binomio".

Per riconoscerli serve un occhio allenato ai quadrati e ai cubi. Conviene avere in mente i primi:

Per le lettere: un monomio è un quadrato se il coefficiente è un quadrato e tutti gli esponenti sono pari. Per esempio \(9x^4y^2 = (3x^2y)^2\).

Differenza di quadrati

Trinomio quadrato

Per riconoscerlo: due termini devono essere quadrati positivi, e il terzo deve essere il doppio prodotto delle loro basi. Il segno del doppio prodotto dice se nel binomio c'è un più o un meno.

Cubo di binomio

Si riconosce perché ha quattro termini: due cubi e due tripli prodotti.

Somma e differenza di cubi

Queste due formule sono nuove: le ricaviamo facendo il prodotto a destra.

Il secondo fattore si chiama falso quadrato: somiglia a un quadrato di binomio, ma il termine centrale è \(ab\) e non \(2ab\). Per questo non si scompone.

Per ricordare i segni: il binomio ha lo stesso segno di partenza, il termine centrale del falso quadrato ha il segno opposto, l'ultimo è sempre più.

La strategia completa

Davanti a un polinomio da scomporre, procedi in questo ordine.

Esercizi