Calcolo letterale: perché si usano le lettere

Dai numeri alle lettere

Pensa a un rettangolo con la base di 5 cm e l'altezza di 3 cm. Il perimetro è \(5 + 3 + 5 + 3 = 16\) cm. Se il rettangolo cambia, devi rifare il conto da capo: con base 7 e altezza 2 ottieni \(7 + 2 + 7 + 2 = 18\).

Il ragionamento però è sempre lo stesso: due volte la base più due volte l'altezza. Se chiamiamo \(b\) la base e \(h\) l'altezza, possiamo scriverlo una volta per tutte:

Questa è la prima idea dell'algebra: una lettera sta al posto di un numero qualsiasi. Così una sola formula descrive infiniti casi diversi.

Sono espressioni letterali, ad esempio:

Nell'ultima, \(\pi\) non è una variabile: è un numero preciso (circa 3,14) indicato con una lettera greca. Le lettere che indicano numeri fissi si chiamano costanti.

Come si scrive un'espressione letterale

Per rendere le espressioni più leggibili si seguono alcune convenzioni.

• Il segno di moltiplicazione si omette tra numeri e lettere e tra lettere: \(3 \cdot a\) si scrive \(3a\), e \(a \cdot b\) si scrive \(ab\).
• Il numero si scrive prima delle lettere: si scrive \(5x\), non \(x5\).
• Le lettere uguali moltiplicate tra loro diventano una potenza: \(a \cdot a \cdot a = a^3\).
• Il fattore 1 non si scrive: \(1 \cdot x = x\), e \(-1 \cdot x = -x\).

Tra due numeri invece il puntino resta, altrimenti \(3 \cdot 4\) diventerebbe \(34\).

Il valore numerico di un'espressione

Quando al posto delle lettere metti dei numeri, l'espressione diventa un normale calcolo. Il risultato si chiama valore numerico dell'espressione per quei valori delle lettere.

Quando un'espressione perde significato

Una frazione con una lettera al denominatore non si può calcolare per tutti i valori: non si può dividere per zero.

Questa idea tornerà quando studieremo le frazioni algebriche e le equazioni fratte, sotto il nome di condizioni di esistenza.

Esercizi