I polinomi: definizioni e grado | Algebra 1

Dal monomio al polinomio

Nella lezione sulla somma abbiamo visto che due monomi non simili, come $$3x^2$$ e $$2y$$ , non si possono sommare in un unico monomio. La loro somma $$3x^2 + 2y$$ è un oggetto nuovo: un polinomio.

In base al numero di termini si usano nomi particolari:

Termini	Nome	Esempio
1	monomio	$$5a^2b$$
2	binomio	$$x + 3$$
3	trinomio	$$x^2 - 5x + 6$$
4	quadrinomio	$$a^3 + a^2 - a - 1$$

Da quattro termini in su si dice semplicemente polinomio. Anche un monomio si può vedere come un polinomio con un solo termine.

Polinomio ridotto

Un polinomio come $$3x^2 + 2x - x^2 + 5$$ contiene due termini simili, $$3x^2$$ e $$-x^2$$ . Sommandoli si ottiene $$2x^2 + 2x + 5$$ , che ha lo stesso valore ma è più semplice.

Il grado di un polinomio

EsempioGrado di $$3x^4y - 2x^2y^3 + 7xy - 1$$

Calcolo il grado di ogni termine:

Termine	Grado
$$3x^4y$$	$$4 + 1 = 5$$
$$-2x^2y^3$$	$$2 + 3 = 5$$
$$7xy$$	$$2$$
$$-1$$	$$0$$

Grado complessivo: $$5$$ , il massimo.
Grado rispetto a $$x$$ : $$4$$ , l'esponente più alto di $$x$$ .
Grado rispetto a $$y$$ : $$3$$ .

Il termine senza lettere, come $$-1$$ nell'esempio, si chiama termine noto. Ha grado zero.

Polinomi ordinati, completi e omogenei

Queste tre proprietà si guardano rispetto a una lettera scelta.

$$5x^3 - 2x^2 + x - 4$$ è ordinato in modo decrescente rispetto a $$x$$ : gli esponenti sono $$3, 2, 1, 0$$ .

$$x^3 - 2x^2 + x - 4$$ è completo: ci sono $$x^3$$ , $$x^2$$ , $$x^1$$ e $$x^0$$ .
$$x^3 + 5x - 1$$ non è completo: manca il termine in $$x^2$$ .

Un polinomio incompleto si può sempre scrivere come completo mettendo zero come coefficiente dei termini mancanti: $$x^3 + 0x^2 + 5x - 1$$ . Questo trucco servirà nella divisione tra polinomi.

$$a^3 + 3a^2b - ab^2 + 2b^3$$ è omogeneo di grado $$3$$ : ogni termine ha grado $$3$$ .

Valore numerico di un polinomio

Come per qualsiasi espressione letterale, si sostituiscono i numeri alle lettere mettendo le parentesi.

Esercizi

Verifica veloce

Qual è il grado complessivo di $$x^2y^2 - 3x^3 + y$$ ?

Verifica veloce

Quale di questi polinomi è omogeneo?

Termine	Grado
$\(3x^4y\)$	$\(4 + 1 = 5\)$
$\(-2x^2y^3\)$	$\(2 + 3 = 5\)$
$\(7xy\)$	$\(2\)$
$\(-1\)$	$\(0\)$

Termini	Nome	Esempio
1	monomio	$\(5a^2b\)$
2	binomio	$\(x + 3\)$
3	trinomio	$\(x^2 - 5x + 6\)$
4	quadrinomio	$\(a^3 + a^2 - a - 1\)$