Come dividere velocemente un polinomio per x − a con la regola di Ruffini, come trovare il resto senza dividere e come capire se un polinomio è divisibile.
Una scorciatoia per un caso frequente
La divisione tra polinomi funziona sempre, ma è lunga. Quando il divisore ha la forma \(x - a\), cioè è un binomio di primo grado con coefficiente \(1\) davanti alla \(x\), esiste un metodo molto più rapido: la regola di Ruffini, dal nome del matematico italiano Paolo Ruffini.
Divisori come \(x - 3\),\(x + 2\) (che è \(x - (-2)\)) o \(x - \frac{1}{2}\) vanno bene. Il numero \(a\) è il valore che annulla il divisore: per \(x + 2\) è \(a = -2\).
Lo schema
Rifacciamo con Ruffini la divisione della lezione precedente: \((2x^3 + x^2 - 5x + 3) : (x + 2)\). Qui \(a = -2\).
Il teorema del resto
C'è un modo ancora più veloce per conoscere il resto, senza fare nessuna divisione.
Il motivo è semplice. Dalla definizione di divisione \(P(x) = (x - a)\,Q(x) + R\). Se sostituisci \(x = a\) il primo prodotto si annulla, perché \(a - a = 0\), e resta \(P(a) = R\).
Il teorema di Ruffini: quando un polinomio è divisibile
Dal teorema del resto segue subito una conseguenza importantissima.
Un numero \(a\) per cui \(P(a) = 0\) si chiama zero (o radice) del polinomio. Trovare uno zero significa trovare un divisore di primo grado, e questo servirà moltissimo nella scomposizione in fattori.
Ma come si trova uno zero? Non si va a caso.
Esercizi
Verifica veloce
Quale valore di \(a\) si usa nello schema di Ruffini per dividere per \(x + 5\)?
\(x + 5 = x - (-5)\): il valore che annulla il divisore è \(-5\).
Verifica veloce
Qual è il resto di \((x^3 + 2x - 1) : (x - 1)\)?
Per il teorema del resto: \(P(1) = 1 + 2 - 1 = 2\).
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