Prodotti notevoli: quadrato di binomio e somma per differenza
Le formule del quadrato di un binomio e del prodotto della somma per la differenza, da dove vengono, come si usano e gli errori da evitare.
Perché si chiamano notevoli
Alcuni prodotti tra polinomi capitano così spesso che conviene conoscerne il risultato a memoria. Si chiamano prodotti notevoli: invece di fare ogni volta tutte le moltiplicazioni, si applica direttamente una formula.
In questa lezione vediamo i due più importanti. Sono anche la chiave per la scomposizione in fattori, quindi vale la pena impararli bene.
Il quadrato di un binomio
Calcoliamo \((a + b)^2\) come prodotto normale:
\[(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\]
Il risultato è un trinomio. I due quadrati sono sempre positivi; il segno del doppio prodotto dipende dai segni dei due termini.
Una curiosità utile: \((a - b)^2\) e \((b - a)^2\) danno lo stesso risultato, perché i due binomi sono opposti e il quadrato elimina il segno. Per esempio \((3 - x)^2 = (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9\).
Somma per differenza
Moltiplichiamo la somma di due termini per la loro differenza:
\[(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2\]
I due termini centrali si annullano.
Questa formula ha anche un uso pratico nel calcolo a mente: \(21 \cdot 19 = (20 + 1)(20 - 1) = 400 - 1 = 399\).
Esercizi
Verifica veloce
Quanto fa \((x - 6)^2\)?
Quadrato del primo, \(x^2\); doppio prodotto, \(2 \cdot x \cdot (-6) = -12x\); quadrato del secondo, \(36\).
Verifica veloce
Quanto fa \((2y + 3)(2y - 3)\)?
È una somma per differenza: \((2y)^2 - 3^2 = 4y^2 - 9\).
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