La forma normale, le equazioni incomplete pure e spurie, la formula risolutiva, il discriminante e la formula ridotta.
La forma normale
Un'equazione di secondo grado, dopo aver fatto i calcoli e portato tutto al primo membro, si può scrivere così:
\[ax^2 + bx + c = 0 \qquad \text{con } a \neq 0\]
Questa è la forma normale. \(a\) è il coefficiente di \(x^2\),\(b\) quello di \(x\),\(c\) il termine noto. Se \(a\) fosse zero, l'equazione sarebbe di primo grado.
Un'equazione di secondo grado ha al massimo due soluzioni reali, dette anche radici.
Le equazioni incomplete
Se \(b\) oppure \(c\) è zero, l'equazione è incompleta e si risolve senza formule.
La formula risolutiva
Per l'equazione completa c'è una formula che funziona sempre.
Il ruolo del discriminante
Il segno di \(\Delta\) dice quante soluzioni ci sono, prima ancora di calcolarle.
Discriminante
Soluzioni reali
\(\Delta > 0\)
due soluzioni distinte
\(\Delta = 0\)
due soluzioni coincidenti: \(x = -\frac{b}{2a}\)
\(\Delta < 0\)
nessuna soluzione reale
La formula ridotta
Quando \(b\) è pari, i conti si accorciano con la formula ridotta. Si pone \(\frac{b}{2}\) al posto di \(b\):