Disequazioni di primo grado

Non un valore, ma un insieme

Un'equazione come \(2x = 6\) ha di solito una soluzione sola: \(x = 3\). Se al posto dell'uguale mettiamo un simbolo di disuguaglianza, le cose cambiano:

Va bene \(x = 4\), va bene \(x = 10\), va bene anche \(x = 3{,}001\). Le soluzioni sono tutti i numeri maggiori di \(3\): non un valore, ma un intero tratto della retta.

Come si scrivono le soluzioni

Le soluzioni di una disequazione di primo grado formano un intervallo. Ci sono tre modi equivalenti di indicarlo.

La parentesi tonda indica un estremo escluso, la quadra un estremo incluso. Accanto a \(\pm\infty\) la parentesi è sempre tonda, perché l'infinito non è un numero e non si può "raggiungere".

Sulla retta, di solito si disegna un pallino vuoto per l'estremo escluso e un pallino pieno per quello incluso.

I principi di equivalenza

Le disequazioni si risolvono quasi come le equazioni. C'è però una differenza decisiva.

Perché il verso si inverte? Prendi una disuguaglianza vera, \(2 < 5\), e moltiplica per \(-1\): ottieni \(-2\) e \(-5\). Sulla retta \(-2\) sta a destra di \(-5\), quindi ora vale \(-2 > -5\). Moltiplicare per un negativo "ribalta" la retta.

Il procedimento

Sempre vera o mai vera

Come per le equazioni, dopo i calcoli la \(x\) può sparire. Si arriva allora a una disuguaglianza tra numeri, che è vera o falsa qualunque sia \(x\).

Esercizi