Il valore assoluto come distanza da zero, e come risolvere equazioni e disequazioni che lo contengono, con le regole rapide e con lo studio dei casi.
Il valore assoluto come distanza
Il valore assoluto di un numero è la sua distanza da zero sulla retta. Una distanza non è mai negativa: \(|5| = 5\) e anche \(|-5| = 5\).
Attenzione a "\(-A\)": non significa "un numero negativo". Se \(A = -7\), allora \(-A = 7\).
Con le espressioni succede lo stesso. Per esempio \(|x - 3|\) vale \(x - 3\) quando \(x \ge 3\), e vale \(-(x - 3) = 3 - x\) quando \(x < 3\). Inoltre \(|x - 3|\) è la distanza tra \(x\) e \(3\) sulla retta: questa lettura aiuta molto a capire i risultati.
Equazioni del tipo \(|A| = k\)
Disequazioni del tipo \(|A| < k\) e \(|A| > k\)
Pensa alle distanze. \(|x| < 3\) vuol dire "\(x\) dista da zero meno di \(3\)": \(x\) sta tra\(-3\) e \(3\). Invece \(|x| > 3\) vuol dire "dista più di \(3\)": \(x\) sta fuori, a sinistra di \(-3\) o a destra di \(3\).
Quando dall'altra parte c'è la \(x\): lo studio dei casi
Le regole rapide funzionano solo se dall'altra parte c'è un numero. Con un'espressione in \(x\) si usa il metodo generale: si tolgono le stanghette distinguendo i casi.
Esercizi
Verifica veloce
Qual è la soluzione di \(|x| < 4\)?
I numeri che distano da zero meno di \(4\) stanno tra \(-4\) e \(4\).
Verifica veloce
Quante soluzioni ha l'equazione \(|x - 1| = -2\)?
Un valore assoluto non è mai negativo, quindi non può valere \(-2\).
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