Sistemi lineari, metodi di sostituzione e confronto

Due incognite, due equazioni

L'equazione \(x + y = 7\) ha infinite soluzioni: \((0;\, 7)\), \((1;\, 6)\), \((2{,}5;\, 4{,}5)\) e così via. Con due incognite, un'equazione sola non basta a individuare i valori.

Se però aggiungiamo una seconda condizione, per esempio \(2x - y = 5\), tra tutte quelle coppie ne resta una sola che va bene a entrambe le equazioni.

La forma normale di un sistema è:

Il significato grafico

Ogni equazione di primo grado in \(x\) e \(y\) rappresenta una retta nel piano cartesiano: i suoi punti sono tutte le coppie che la soddisfano. Risolvere il sistema vuol dire trovare il punto che sta su entrambe le rette, cioè il loro punto di intersezione.

Due rette nel piano possono:

• incontrarsi in un punto: il sistema ha una sola soluzione;
• essere parallele e distinte: nessuna soluzione;
• coincidere: infinite soluzioni.

Ne parleremo meglio nella prossima lezione.

Il metodo di sostituzione

Il metodo del confronto

Se è comodo ricavare la stessa incognita da entrambe le equazioni, si possono mettere a confronto le due espressioni.

Esercizi