Come risolvere una disequazione di secondo grado studiando il segno del trinomio, nei tre casi di discriminante positivo, nullo e negativo.
Il segno di un trinomio
Risolvere \(x^2 - 5x + 6 > 0\) significa chiedersi: per quali \(x\) il trinomio è positivo?
Possiamo scomporlo: \(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\). Con la tabella dei segni:
Fattore
\(x < 2\)
\(2 < x < 3\)
\(x > 3\)
\(x - 2\)
\(-\)
\(+\)
\(+\)
\(x - 3\)
\(-\)
\(-\)
\(+\)
prodotto
\(+\)
\(-\)
\(+\)
Il trinomio è positivo fuori dalle due soluzioni e negativo tra le due soluzioni. Questo succede sempre quando \(a > 0\), e porta a una regola che evita di rifare la tabella ogni volta.
La regola, con \(a > 0\)
Prima di tutto conviene rendere \(a\) positivo: se è negativo, si moltiplica tutto per \(-1\)invertendo il verso.
Una frase per ricordarlo: con \(a > 0\), "maggiore di zero: valori esterni; minore di zero: valori interni".
I tre casi in pratica
Il procedimento completo
Esercizi
Verifica veloce
Qual è la soluzione di \(x^2 - 4x < 0\)?
L'equazione \(x(x - 4) = 0\) ha soluzioni \(0\) e \(4\). Minore di zero con \(a > 0\): valori interni.
Verifica veloce
Per quali \(x\) è vera \(x^2 + 1 < 0\)?
\(x^2 + 1\) è sempre almeno \(1\), quindi non è mai negativo.
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