I radicali

Dalla potenza alla radice

Sai che \(7^2 = 49\). La domanda inversa è: quale numero, elevato al quadrato, dà \(49\)? La risposta positiva è \(7\), e si scrive \(\sqrt{49} = 7\).

Allo stesso modo \(2^3 = 8\), quindi la radice cubica di \(8\) è \(2\): \(\sqrt[3]{8} = 2\).

Indice pari e indice dispari

C'è una differenza importante tra indici pari e dispari.

Indice dispari. Ogni numero reale ha una e una sola radice: \(\sqrt[3]{8} = 2\), ma anche \(\sqrt[3]{-8} = -2\), perché \((-2)^3 = -8\).

Indice pari. Una potenza con esponente pari non è mai negativa, quindi un radicando negativo non ha radice reale: \(\sqrt{-4}\) e \(\sqrt[4]{-16}\) non esistono nei numeri reali. Se il radicando è positivo, ci sarebbero due numeri adatti (\(3^2 = 9\) e \((-3)^2 = 9\)), ma per convenzione la radice è quella positiva: \(\sqrt{9} = 3\).

Condizioni di esistenza

Se nel radicando compare una lettera, bisogna chiedersi per quali valori il radicale esiste. Per un indice pari si impone radicando \(\ge 0\); per un indice dispari non serve nessuna condizione (a parte quelle di eventuali frazioni).

La proprietà invariantiva

Questa proprietà serve a due cose: semplificare i radicali e portarli allo stesso indice.

Il valore assoluto nascosto

Quanto vale \(\sqrt{x^2}\)? Viene da rispondere \(x\), ma se \(x = -5\):

che non è \(-5\). La radice quadrata è sempre positiva, quindi il risultato giusto è il valore assoluto.

Confrontare i radicali

Quale è più grande tra \(\sqrt{3}\) e \(\sqrt[3]{5}\)? Con indici diversi non si vede subito. Si portano allo stesso indice, il mcm degli indici, poi si confrontano i radicandi.

Esercizi