Disequazioni di prodotto e fratte | Algebra 2

La regola dei segni al lavoro

Quando è positivo un prodotto come $$(x - 2)(x + 3)$$ ? Non serve svolgere i calcoli: basta sapere il segno di ciascun fattore. Per la regola dei segni, il prodotto è positivo quando i fattori negativi sono in numero pari, negativo quando sono in numero dispari.

Lo stesso vale per una frazione: il segno di $\frac{A}{B}$ è lo stesso del prodotto $A \cdot B$ . C'è solo un vincolo in più: il denominatore non può essere zero.

La tabella dei segni

EsempioRisolvi $$(x - 2)(x + 3) > 0$$

Studio il segno dei due fattori:

$$x - 2 > 0$$ per $$x > 2$$ ;
$$x + 3 > 0$$ per $$x > -3$$ .

I valori critici sono $$-3$$ e $$2$$ . Dividono la retta in tre zone:

Fattore	$$x < -3$$	$$-3 < x < 2$$	$$x > 2$$
$$x - 2$$	$$-$$	$$-$$	$$+$$
$$x + 3$$	$$-$$	$$+$$	$$+$$
prodotto	$$+$$	$$-$$	$$+$$

Serve il prodotto positivo:

x < -3 \quad \text{oppure} \quad x > 2

In $$-3$$ e in $$2$$ il prodotto vale zero, e $$0 > 0$$ è falso: gli estremi sono esclusi.

EsempioRisolvi $\frac{x + 1}{x - 4} \le 0$

Segno del numeratore: $x + 1 \ge 0$ per $x \ge -1$ .

Segno del denominatore: $$x - 4 > 0$$ per $$x > 4$$ . Il denominatore si studia sempre con il maggiore stretto, perché non può annullarsi.

Fattore	$$x < -1$$	$$-1 < x < 4$$	$$x > 4$$
$$x + 1$$	$$-$$	$$+$$	$$+$$
$$x - 4$$	$$-$$	$$-$$	$$+$$
frazione	$$+$$	$$-$$	$$+$$

Serve la frazione negativa o nulla. È negativa nella colonna centrale ed è nulla per $$x = -1$$ (numeratore zero). In $$x = 4$$ la frazione non esiste.

-1 \le x < 4

Non moltiplicare per il denominatore

Nelle equazioni fratte si moltiplica tutto per il denominatore. Nelle disequazioni non si può: il denominatore contiene la $$x$$ , quindi non sappiamo se è positivo o negativo, e non sappiamo se il verso va invertito.

EsempioRisolvi $\frac{2x - 1}{x + 2} > 1$

Porto $$1$$ a sinistra e faccio il denominatore comune:

\frac{2x - 1}{x + 2} - 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{2x - 1 - (x + 2)}{x + 2} > 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{x - 3}{x + 2} > 0

Numeratore positivo per $$x > 3$$ , denominatore positivo per $$x > -2$$ .

Fattore	$$x < -2$$	$$-2 < x < 3$$	$$x > 3$$
$$x - 3$$	$$-$$	$$-$$	$$+$$
$$x + 2$$	$$-$$	$$+$$	$$+$$
frazione	$$+$$	$$-$$	$$+$$

x < -2 \quad \text{oppure} \quad x > 3

Controllo con $$x = -3$$ : $\frac{-7}{-1} = 7 > 1$ . Vero, e infatti $$-3 < -2$$ . Il "metodo sbagliato" avrebbe dato solo $$x > 3$$ , perdendo metà delle soluzioni.

Esercizi

Esercizio

Risolvi $(3 - x)(2x + 4) \ge 0$ .

MostraNascondi la soluzione

$3 - x \ge 0$ per $x \le 3$ ; $2x + 4 \ge 0$ per $x \ge -2$ .

Fattore	$$x < -2$$	$$-2 < x < 3$$	$$x > 3$$
$$3 - x$$	$$+$$	$$+$$	$$-$$
$$2x + 4$$	$$-$$	$$+$$	$$+$$
prodotto	$$-$$	$$+$$	$$-$$

Prodotto positivo o nullo: $-2 \le x \le 3$ .

Esercizio

Risolvi $\frac{3}{x - 2} \ge 2$ .

MostraNascondi la soluzione

\frac{3}{x - 2} - 2 \ge 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{3 - 2x + 4}{x - 2} \ge 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{7 - 2x}{x - 2} \ge 0

Numeratore: $7 - 2x \ge 0$ per $x \le \frac{7}{2}$ . Denominatore: $$x - 2 > 0$$ per $$x > 2$$ .

Fattore	$$x < 2$$	$2 < x < \frac{7}{2}$	$x > \frac{7}{2}$
$$7 - 2x$$	$$+$$	$$+$$	$$-$$
$$x - 2$$	$$-$$	$$+$$	$$+$$
frazione	$$-$$	$$+$$	$$-$$

Soluzione: $2 < x \le \frac{7}{2}$ .

Verifica veloce

Qual è la soluzione di $\frac{x}{x - 1} > 0$ ?

Verifica veloce

Nella disequazione $\frac{x + 2}{x - 3} \ge 0$ , il valore $$x = 3$$ :

Fattore	$\(x < -3\)$	$\(-3 < x < 2\)$	$\(x > 2\)$
$\(x - 2\)$	$\(-\)$	$\(-\)$	$\(+\)$
$\(x + 3\)$	$\(-\)$	$\(+\)$	$\(+\)$
prodotto	$\(+\)$	$\(-\)$	$\(+\)$

Fattore	$\(x < -1\)$	$\(-1 < x < 4\)$	$\(x > 4\)$
$\(x + 1\)$	$\(-\)$	$\(+\)$	$\(+\)$
$\(x - 4\)$	$\(-\)$	$\(-\)$	$\(+\)$
frazione	$\(+\)$	$\(-\)$	$\(+\)$

Fattore	$\(x < -2\)$	$\(-2 < x < 3\)$	$\(x > 3\)$
$\(x - 3\)$	$\(-\)$	$\(-\)$	$\(+\)$
$\(x + 2\)$	$\(-\)$	$\(+\)$	$\(+\)$
frazione	$\(+\)$	$\(-\)$	$\(+\)$

Fattore	$\(x < -2\)$	$\(-2 < x < 3\)$	$\(x > 3\)$
$\(3 - x\)$	$\(+\)$	$\(+\)$	$\(-\)$
$\(2x + 4\)$	$\(-\)$	$\(+\)$	$\(+\)$
prodotto	$\(-\)$	$\(+\)$	$\(-\)$

Fattore	$\(x < 2\)$	$2 < x < \frac{7}{2}$	$x > \frac{7}{2}$
$\(7 - 2x\)$	$\(+\)$	$\(+\)$	$\(-\)$
$\(x - 2\)$	$\(-\)$	$\(+\)$	$\(+\)$
frazione	$\(-\)$	$\(+\)$	$\(-\)$