Disequazioni di grado superiore, fratte e sistemi | Algebra 2

Due strumenti che conosci già

In questa lezione non c'è niente di davvero nuovo: mettiamo insieme due strumenti.

La tabella dei segni, per i prodotti e le frazioni (lezione sulle disequazioni fratte).
Il segno del trinomio di secondo grado (lezione precedente).

La differenza è che ora alcuni fattori sono di secondo grado. Per ciascuno basta chiedersi dove è positivo, con la regola dei valori interni ed esterni.

Prodotti con fattori di secondo grado

EsempioRisolvi $$(x^2 - x - 2)(3 - x) < 0$$

Studio il segno di ogni fattore:

$$x^2 - x - 2 > 0$$ : le soluzioni dell'equazione sono $$2$$ e $$-1$$ , quindi è positivo per $$x < -1$$ oppure $$x > 2$$ (valori esterni);
$$3 - x > 0$$ per $$x < 3$$ .

Fattore	$$x < -1$$	$$-1 < x < 2$$	$$2 < x < 3$$	$$x > 3$$
$$x^2 - x - 2$$	$$+$$	$$-$$	$$+$$	$$+$$
$$3 - x$$	$$+$$	$$+$$	$$+$$	$$-$$
prodotto	$$+$$	$$-$$	$$+$$	$$-$$

Serve il prodotto negativo:

-1 < x < 2 \quad \text{oppure} \quad x > 3

EsempioRisolvi $x^3 - x^2 - 6x \ge 0$

Raccolgo: $$x(x^2 - x - 6) = x(x - 3)(x + 2)$$ . I valori critici sono $$-2$$ , $$0$$ , $$3$$ .

Fattore	$$x < -2$$	$$-2 < x < 0$$	$$0 < x < 3$$	$$x > 3$$
$$x$$	$$-$$	$$-$$	$$+$$	$$+$$
$$x - 3$$	$$-$$	$$-$$	$$-$$	$$+$$
$$x + 2$$	$$-$$	$$+$$	$$+$$	$$+$$
prodotto	$$-$$	$$+$$	$$-$$	$$+$$

Prodotto positivo o nullo, estremi inclusi:

-2 \le x \le 0 \quad \text{oppure} \quad x \ge 3

Disequazioni fratte

EsempioRisolvi $\frac{x^2 - 4}{x - 3} \ge 0$

Numeratore: $x^2 - 4 \ge 0$ per $x \le -2$ oppure $x \ge 2$ (valori esterni).

Denominatore: $$x - 3 > 0$$ per $$x > 3$$ .

Fattore	$$x < -2$$	$$-2 < x < 2$$	$$2 < x < 3$$	$$x > 3$$
$$x^2 - 4$$	$$+$$	$$-$$	$$+$$	$$+$$
$$x - 3$$	$$-$$	$$-$$	$$-$$	$$+$$
frazione	$$-$$	$$+$$	$$-$$	$$+$$

Frazione positiva o nulla. Gli zeri del numeratore ( $\pm 2$ ) sono inclusi, quello del denominatore ( $$3$$ ) è escluso:

-2 \le x \le 2 \quad \text{oppure} \quad x > 3

Sistemi di disequazioni

Nei sistemi si risolve ogni disequazione per conto suo e poi si prende la parte comune, con lo schema grafico.

Esercizi

Esercizio

Risolvi $\frac{x - 1}{x^2 - 9} \le 0$ .

MostraNascondi la soluzione

Numeratore: $x - 1 \ge 0$ per $x \ge 1$ . Denominatore: $$x^2 - 9 > 0$$ per $$x < -3$$ oppure $$x > 3$$ .

Fattore	$$x < -3$$	$$-3 < x < 1$$	$$1 < x < 3$$	$$x > 3$$
$$x - 1$$	$$-$$	$$-$$	$$+$$	$$+$$
$$x^2 - 9$$	$$+$$	$$-$$	$$-$$	$$+$$
frazione	$$-$$	$$+$$	$$-$$	$$+$$

Frazione negativa o nulla:

x < -3 \quad \text{oppure} \quad 1 \le x < 3

Verifica veloce

Per quali $$x$$ è vera $\frac{1}{x^2 + 4} > 0$ ?

Verifica veloce

Qual è la soluzione del sistema $\begin{cases} x > 2 \\ x^2 < 9 \end{cases}$ ?

Fattore	$\(x < -1\)$	$\(-1 < x < 2\)$	$\(2 < x < 3\)$	$\(x > 3\)$
$\(x^2 - x - 2\)$	$\(+\)$	$\(-\)$	$\(+\)$	$\(+\)$
$\(3 - x\)$	$\(+\)$	$\(+\)$	$\(+\)$	$\(-\)$
prodotto	$\(+\)$	$\(-\)$	$\(+\)$	$\(-\)$

Fattore	$\(x < -2\)$	$\(-2 < x < 0\)$	$\(0 < x < 3\)$	$\(x > 3\)$
$\(x\)$	$\(-\)$	$\(-\)$	$\(+\)$	$\(+\)$
$\(x - 3\)$	$\(-\)$	$\(-\)$	$\(-\)$	$\(+\)$
$\(x + 2\)$	$\(-\)$	$\(+\)$	$\(+\)$	$\(+\)$
prodotto	$\(-\)$	$\(+\)$	$\(-\)$	$\(+\)$

Fattore	$\(x < -2\)$	$\(-2 < x < 2\)$	$\(2 < x < 3\)$	$\(x > 3\)$
$\(x^2 - 4\)$	$\(+\)$	$\(-\)$	$\(+\)$	$\(+\)$
$\(x - 3\)$	$\(-\)$	$\(-\)$	$\(-\)$	$\(+\)$
frazione	$\(-\)$	$\(+\)$	$\(-\)$	$\(+\)$

Fattore	$\(x < -3\)$	$\(-3 < x < 1\)$	$\(1 < x < 3\)$	$\(x > 3\)$
$\(x - 1\)$	$\(-\)$	$\(-\)$	$\(+\)$	$\(+\)$
$\(x^2 - 9\)$	$\(+\)$	$\(-\)$	$\(-\)$	$\(+\)$
frazione	$\(-\)$	$\(+\)$	$\(-\)$	$\(+\)$