Come risolvere equazioni di terzo e quarto grado con la scomposizione, la regola di Ruffini e le biquadratiche, e come trattare le equazioni fratte di secondo grado.
L'idea: abbassare il grado
Per le equazioni di terzo grado e oltre non useremo formule generali: sono complicate o non esistono. L'idea è un'altra: scomporre in fattori il polinomio e usare la legge di annullamento del prodotto.
Un'equazione di grado \(n\) ha al massimo\(n\) soluzioni reali.
Con la scomposizione
Con la regola di Ruffini
Se non si vede una scomposizione, si cerca una soluzione intera tra i divisori del termine noto. Trovata una soluzione \(r\), il polinomio è divisibile per \((x - r)\): con Ruffini si ottiene un polinomio di grado più basso.
Le equazioni binomie
Un'equazione binomia ha la forma \(x^n = k\).
Le equazioni biquadratiche
Un'equazione biquadratica contiene solo \(x^4\),\(x^2\) e il termine noto: \(ax^4 + bx^2 + c = 0\). Si risolve con una sostituzione.
Le equazioni fratte
Anche un'equazione fratta può diventare di secondo grado. Il metodo è quello di Algebra 1: condizioni di esistenza, mcm, controllo finale.
Esercizi
Verifica veloce
Quali sono le soluzioni reali di \(x^4 = 81\)?
Esponente pari e \(81 > 0\):\(x = \pm\sqrt[4]{81} = \pm 3\).
Verifica veloce
Quali sono le soluzioni di \(x(x - 1)(x + 5) = 0\)?
Ogni fattore uguagliato a zero dà una soluzione: \(x = 0\),\(x = 1\),\(x = -5\).
Hai finito questa lezione?
Segnala come completata: resta salvata su questo dispositivo. Crea un account per ritrovarla ovunque.