Una frazione all'esponente Cosa può voler dire \(9^{\frac{1}{2}}\) ?
\[\left(9^{\frac{1}{2}}\right)^2 = 9^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^1 = 9\]
Quindi \(9^{\frac{1}{2}}\) è un numero che elevato al quadrato dà \(9\) :\(\sqrt{9} = 3\) .\(\frac{1}{2}\) è fare la radice quadrata.
DefinizionePotenza con esponente razionale
Se \(a > 0\) ,\(m\) intero e \(n\) naturale con \(n \ge 2\) :
\[a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\]
Il denominatore dell'esponente diventa l'indice della radice, il numeratore l'esponente del radicando.
Siccome \(\sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m\) , si può anche fare prima la radice e poi la potenza. Di solito conviene: si lavora con numeri più piccoli.
EsempioTre potenze da calcolare
\[8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4\]
\[16^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3 = 2^3 = 8\]
\[27^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{27^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3}\]
Nell'ultima, come per gli esponenti interi, l'esponente negativo porta la potenza al denominatore.
Perché la base deve essere positiva Con basi negative la definizione darebbe risultati contraddittori. Guarda:
\[(-8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-8} = -2\]
ma \(\frac{1}{3} = \frac{2}{6}\) ,
\[(-8)^{\frac{2}{6}} = \sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2\]
Lo stesso numero non può valere \(-2\) e \(2\) .basi positive .
Le proprietà delle potenze Tutte le proprietà che conosci valgono anche con gli esponenti razionali (con basi positive).
RegolaProprietà delle potenze
\[a^r \cdot a^s = a^{r + s} \qquad\qquad \frac{a^r}{a^s} = a^{r - s} \qquad\qquad \left(a^r\right)^s = a^{r \cdot s}\]
\[(a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r \qquad\qquad a^{-r} = \frac{1}{a^r}\]
Questo è il vero vantaggio della notazione: le operazioni con i radicali diventano operazioni con le frazioni negli esponenti.
EsempioProdotto di radicali con indici diversi
\[\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = a^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{a^5}\]
Non è servito portare i radicali allo stesso indice: ci ha pensato la somma di frazioni.
EsempioPotenza di potenza
\[\left(a^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{4}} = a^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}\]
AttenzioneSomma di esponenti, non prodotto
Nel prodotto di potenze con la stessa base gli esponenti si sommano : \(a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{5}{6}}\) , non \(a^{\frac{1}{6}}\) .
Esercizi Esercizio
Semplifica \(\frac{a^{\frac{3}{4}} \cdot a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}}\) , con \(a > 0\) .
Mostra Nascondi la soluzione\[a^{\frac{3}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}} = a^{\frac{3}{4} + \frac{2}{4} - \frac{1}{4}} = a^{\frac{4}{4}} = a\]
Esercizio
Scrivi \(\sqrt{a \cdot \sqrt[3]{a}}\) come potenza di \(a\) ,\(a > 0\) .
Mostra Nascondi la soluzione\[\sqrt{a \cdot a^{\frac{1}{3}}} = \left(a^{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{3}}\]
Verifica veloce
Quanto vale \(9^{\frac{1}{2}}\) ?
A \(4{,}5\) B \(3\) C \(81\) D \(\frac{1}{9}\)
Esponente \(\frac{1}{2}\) vuol dire radice quadrata: \(\sqrt{9} = 3\) .
Verifica veloce
Quanto vale \(4^{-\frac{3}{2}}\) ?
A \(-8\) B \(8\) C \(\frac{1}{8}\) D \(-\frac{1}{8}\)
\(4^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{4}\right)^3 = 8\) , e l'esponente negativo dà il reciproco: \(\frac{1}{8}\) .