Somma e prodotto delle radici, scomposizione del trinomio

Una scoperta sui coefficienti

Prendi l'equazione \(x^2 - 5x + 6 = 0\), che ha soluzioni \(2\) e \(3\). Guarda:

• la somma delle soluzioni è \(2 + 3 = 5\), l'opposto del coefficiente di \(x\);
• il prodotto è \(2 \cdot 3 = 6\), il termine noto.

Non è un caso. Sommando e moltiplicando le due soluzioni della formula risolutiva, la radice di \(\Delta\) sparisce e restano formule molto semplici.

Da dove vengono? Nella somma \(\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\) le radici si cancellano e resta \(\frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}\). Nel prodotto si usa la somma per differenza: \(\frac{b^2 - \Delta}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}\).

Scomporre il trinomio di secondo grado

Queste relazioni danno un modo generale per scomporre un trinomio di secondo grado.

Scrivere un'equazione conoscendo le soluzioni

Si può fare anche il percorso inverso. Se dividiamo \(ax^2 + bx + c = 0\) per \(a\) otteniamo \(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\), cioè:

Trovare un parametro

Le relazioni servono anche quando l'equazione contiene una lettera, un parametro.

Esercizi