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Proporzionalità diretta e inversa
Quando due grandezze sono direttamente o inversamente proporzionali, come si riconoscono da una tabella, la costante di proporzionalità e come si risolvono i problemi del tre semplice.
Due grandezze che cambiano insieme
Molte grandezze dipendono l'una dall'altra: il prezzo da pagare dipende da quanti chili di mele compri, il tempo di un viaggio dipende dalla velocità. Due dei modi più semplici in cui possono dipendere sono la proporzionalità diretta e quella inversa.
Proporzionalità diretta
Le mele costano \(2\) euro al chilo:
| Chili di mele | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|
| Prezzo (euro) | \(2\) | \(4\) | \(6\) | \(10\) |
Se i chili raddoppiano, il prezzo raddoppia; se triplicano, triplica. Il rapporto tra prezzo e chili è sempre lo stesso: \(\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{6}{3} = \frac{10}{5} = 2\).
Sul piano cartesiano i punti di una proporzionalità diretta stanno su una retta che passa per l'origine.
Proporzionalità inversa
Un tragitto è lungo \(120\) km. A seconda della velocità cambia il tempo necessario:
| Velocità (km/h) | \(30\) | \(40\) | \(60\) | \(120\) |
|---|---|---|---|---|
| Tempo (ore) | \(4\) | \(3\) | \(2\) | \(1\) |
Se la velocità raddoppia, il tempo si dimezza. Questa volta a restare costante è il prodotto: \(30 \cdot 4 = 40 \cdot 3 = 60 \cdot 2 = 120 \cdot 1 = 120\).
Sul piano cartesiano i punti di una proporzionalità inversa stanno su una curva chiamata iperbole.
Il tre semplice
Nei problemi del tre semplice si conoscono tre valori e se ne cerca un quarto. La prima cosa da fare è capire se le grandezze sono direttamente o inversamente proporzionali: basta chiedersi "se una raddoppia, l'altra raddoppia o si dimezza?".
Esercizi
Verifica veloce
Quali grandezze sono inversamente proporzionali?
Se le persone raddoppiano, la parte di ciascuno si dimezza: il prodotto (la pizza intera) resta costante. Le prime due sono proporzionalità dirette, l'ultima non è una proporzionalità.
Verifica veloce
Se \(y\) è direttamente proporzionale a \(x\) e per \(x = 4\) vale \(y = 10\), quanto vale \(y\) per \(x = 6\)?
La costante è \(\frac{10}{4} = 2{,}5\), quindi \(y = 2{,}5 \cdot 6 = 15\).
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