Massimo comune divisore e minimo comune multiplo

Due idee diverse

• Il massimo comune divisore (MCD) di due numeri è il più grande numero che li divide entrambi.
• Il minimo comune multiplo (mcm) è il più piccolo numero, diverso da zero, che è multiplo di entrambi.

Con numeri piccoli si possono trovare guardando gli elenchi. Per \(12\) e \(18\):

• divisori di \(12\): \(1, 2, 3, 4, 6, 12\); divisori di \(18\): \(1, 2, 3, 6, 9, 18\). Quelli comuni sono \(1, 2, 3, 6\), quindi \(\text{MCD}(12, 18) = 6\).
• multipli di \(12\): \(12, 24, 36, 48, \dots\); multipli di \(18\): \(18, 36, 54, \dots\) Il primo comune è \(36\), quindi \(\text{mcm}(12, 18) = 36\).

Con numeri grandi gli elenchi diventano lunghissimi. La scomposizione in fattori primi risolve il problema.

Il metodo della scomposizione

Numeri primi tra loro

Due numeri si dicono primi tra loro (o coprimi) quando il loro MCD è \(1\), cioè non hanno fattori primi in comune. Non è necessario che siano primi: \(8 = 2^3\) e \(15 = 3 \cdot 5\) sono entrambi composti, ma sono primi tra loro.

Per due numeri primi tra loro il mcm è semplicemente il prodotto: \(\text{mcm}(8, 15) = 120\).

Inoltre, se un numero divide l'altro, il MCD è il più piccolo e il mcm il più grande: \(\text{MCD}(7, 35) = 7\) e \(\text{mcm}(7, 35) = 35\).

A cosa servono

Nei problemi conviene chiedersi: devo dividere in parti uguali il più grandi possibile? Allora serve il MCD. Devo trovare quando due cose tornano a coincidere? Allora serve il mcm.

Esercizi