Moltiplicazione, divisione e potenze di frazioni | Aritmetica

Moltiplicazione

Moltiplicare per una frazione significa "prendere una parte di": $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}$ è la metà di tre quarti, cioè tre ottavi.

Qui non serve nessun denominatore comune. Conviene però semplificare prima di moltiplicare: si può dividere un numeratore e un denominatore qualsiasi, anche di frazioni diverse, per uno stesso numero. Si chiama semplificazione in croce.

Un intero si moltiplica per una frazione scrivendolo con denominatore $$1$$ : $6 \cdot \frac{5}{9} = \frac{6}{1} \cdot \frac{5}{9} = \frac{2 \cdot 5}{3} = \frac{10}{3}$ .

Il reciproco

Il reciproco di $\frac{2}{5}$ è $\frac{5}{2}$ ; il reciproco di $$7$$ è $\frac{1}{7}$ ; il reciproco di $-\frac{3}{4}$ è $-\frac{4}{3}$ , con lo stesso segno. Lo zero non ha reciproco.

Divisione

Ha senso: quante volte ci sta mezzo litro in $$3$$ litri? Sei volte, e infatti $3 : \frac{1}{2} = 3 \cdot 2 = 6$ .

Potenze di frazioni

\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27} \qquad \left(-\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16} \qquad \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8}

Le proprietà delle potenze continuano a valere, e permettono di dare un significato anche agli esponenti negativi.

Per esempio $2^{-3} = \frac{1}{8}$ e $\left(\frac{3}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$ . La regola nasce dal quoziente: $2^2 : 2^5 = 2^{-3}$ , e anche $\frac{4}{32} = \frac{1}{8}$ .

Espressioni con le frazioni

Esercizi

Verifica veloce

Quanto vale $\frac{4}{9} : \frac{2}{3}$ ?

Verifica veloce

Quanto vale $3^{-2}$ ?