Le potenze e le loro proprietà

Una moltiplicazione ripetuta

Quando si moltiplica più volte lo stesso numero per se stesso, invece di scrivere \(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\) si usa una scrittura più corta: \(3^4\).

Quindi \(3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\) e \(2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32\).

Le potenze con esponente \(2\) e \(3\) hanno nomi propri: \(a^2\) si legge "\(a\) al quadrato" e \(a^3\) "\(a\) al cubo", perché sono l'area di un quadrato e il volume di un cubo di lato \(a\).

Esponente 1 e esponente 0

Perché \(a^0 = 1\)? Guarda la sequenza delle potenze di \(2\): \(2^4 = 16\), \(2^3 = 8\), \(2^2 = 4\), \(2^1 = 2\). Ogni volta che l'esponente scende di uno, il risultato si divide per 2. Continuando, \(2^0 = 2 : 2 = 1\). La stessa cosa succede con qualsiasi base diversa da zero.

Le potenze di \(10\) sono particolarmente comode: \(10^n\) è un \(1\) seguito da \(n\) zeri. Per esempio \(10^3 = 1000\) e \(10^6 = 1\,000\,000\).

Le proprietà delle potenze

Queste regole permettono di fare molti calcoli senza svolgere le potenze.

La prima si capisce contando i fattori: \(2^3 \cdot 2^2 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2)\), cioè cinque fattori \(2\), quindi \(2^5\).

Le potenze nelle espressioni

Nell'ordine delle operazioni le potenze vengono prima di moltiplicazioni e divisioni.

Esercizi