I numeri decimali e i numeri periodici | Aritmetica

Le cifre dopo la virgola

Nel numero $$34{,}725$$ ogni cifra ha un valore che dipende dalla posizione, come nei numeri interi. Dopo la virgola le posizioni sono decimi, centesimi, millesimi e così via:

34{,}725 = 30 + 4 + \frac{7}{10} + \frac{2}{100} + \frac{5}{1000}

Aggiungere zeri in fondo alla parte decimale non cambia il numero: $$2{,}5 = 2{,}50 = 2{,}500$$ . Questo aiuta a confrontare i decimali: per capire chi è maggiore tra $$0{,}8$$ e $$0{,}75$$ si scrive $$0{,}80$$ e $$0{,}75$$ , e si vede che $$0{,}8$$ è maggiore.

Da decimale a frazione

Un decimale con un numero finito di cifre si trasforma in frazione scrivendo al numeratore il numero senza virgola e al denominatore $$1$$ seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali. Poi si semplifica.

0{,}6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \qquad 2{,}25 = \frac{225}{100} = \frac{9}{4} \qquad 0{,}125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}

Da frazione a decimale

Per passare da una frazione a un decimale si fa la divisione tra numeratore e denominatore.

$\frac{3}{8} = 3 : 8 = 0{,}375$ : la divisione a un certo punto finisce. È un decimale limitato.
$\frac{2}{3} = 2 : 3 = 0{,}666\dots$ : la divisione non finisce mai e la cifra $$6$$ si ripete all'infinito. È un decimale periodico.

Il gruppo di cifre che si ripete si chiama periodo e si scrive con una lineetta sopra: $0{,}666\dots = 0{,}\overline{6}$ . A volte ci sono cifre che non si ripetono tra la virgola e il periodo: si chiamano antiperiodo. In $0{,}1\overline{6} = 0{,}1666\dots$ l'antiperiodo è $$1$$ e il periodo è $$6$$ .

Il motivo è che $10 = 2 \cdot 5$ : solo i denominatori fatti di $$2$$ e $$5$$ si possono trasformare in $$10$$ , $$100$$ , $$1000$$ … Per esempio $\frac{7}{20}$ ha denominatore $2^2 \cdot 5$ , quindi è limitato: $$0{,}35$$ . Invece $\frac{5}{12}$ ha denominatore $2^2 \cdot 3$ , e infatti $\frac{5}{12} = 0{,}41\overline{6}$ .

La frazione generatrice

Anche un decimale periodico è una frazione. La frazione da cui nasce si chiama frazione generatrice e si trova con questa regola.

Arrotondare

Spesso non servono tutte le cifre decimali. Per arrotondare a una certa posizione si guarda la cifra subito dopo:

se è $$0, 1, 2, 3$$ o $$4$$ si lascia invariata la cifra precedente;
se è $$5, 6, 7, 8$$ o $$9$$ la si aumenta di $$1$$ .

Così $$3{,}14159$$ arrotondato ai centesimi è $$3{,}14$$ , mentre $$2{,}678$$ arrotondato ai decimi è $$2{,}7$$ .

Esercizi

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