Divisibilità, numeri primi e scomposizione in fattori | Aritmetica

Multipli e divisori

Si dice che $$a$$ è divisibile per $$b$$ quando la divisione $$a : b$$ ha resto zero. In questo caso si dice anche che:

$$b$$ è un divisore di $$a$$ ;
$$a$$ è un multiplo di $$b$$ .

Per esempio $$36 : 4 = 9$$ con resto $$0$$ : $$4$$ è un divisore di $$36$$ e $$36$$ è un multiplo di $$4$$ .

I multipli di un numero si ottengono moltiplicandolo per $0, 1, 2, 3, \dots$ : i multipli di $$6$$ sono $0, 6, 12, 18, 24, \dots$ e sono infiniti.

I divisori invece sono in numero finito. Per trovarli tutti conviene cercarli a coppie: i divisori di $$36$$ sono

1 \cdot 36 \qquad 2 \cdot 18 \qquad 3 \cdot 12 \qquad 4 \cdot 9 \qquad 6 \cdot 6

cioè $$1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$$ .

I criteri di divisibilità

Per sapere se un numero è divisibile per un altro non serve sempre fare la divisione: basta guardare le cifre.

Divisibile per	Se...	Esempio
$$2$$	l'ultima cifra è pari ( $$0, 2, 4, 6, 8$$ )	$3\,758$
$$3$$	la somma delle cifre è divisibile per $$3$$	$$471$$ : $$4 + 7 + 1 = 12$$
$$4$$	le ultime due cifre formano un multiplo di $$4$$ (oppure sono $$00$$ )	$1\,316$ : $$16$$
$$5$$	l'ultima cifra è $$0$$ o $$5$$	$2\,045$
$$9$$	la somma delle cifre è divisibile per $$9$$	$5\,382$ : $$5 + 3 + 8 + 2 = 18$$
$$10$$	l'ultima cifra è $$0$$	$7\,890$
$$11$$	la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e quella delle cifre di posto pari è $$0$$ o un multiplo di $$11$$	$2\,728$ : $$(8 + 7) - (2 + 2) = 11$$

I numeri primi

I numeri primi minori di $$50$$ sono:

2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47

Il numero $$1$$ non è né primo né composto, perché ha un solo divisore. Il $$2$$ è l'unico numero primo pari: ogni altro numero pari è divisibile per $$2$$ .

La scomposizione in fattori primi

Ogni numero composto si può scrivere come prodotto di numeri primi, e in un modo solo, a parte l'ordine dei fattori. Questa scrittura si chiama scomposizione in fattori primi.

Si procede dividendo per il primo più piccolo possibile, finché non si arriva a $$1$$ . Di solito si scrive tutto in colonna: a sinistra i quozienti, a destra i divisori primi.

La scomposizione serve subito nella prossima lezione, per calcolare MCD e mcm.

Esercizi

Verifica veloce

Quale di questi numeri è divisibile per $$9$$ ?

Verifica veloce

Qual è la scomposizione in fattori primi di $$72$$ ?

Divisibile per	Se...	Esempio
$\(2\)$	l'ultima cifra è pari ( $\(0, 2, 4, 6, 8\)$ )	$3\,758$
$\(3\)$	la somma delle cifre è divisibile per $\(3\)$	$\(471\)$ : $\(4 + 7 + 1 = 12\)$
$\(4\)$	le ultime due cifre formano un multiplo di $\(4\)$ (oppure sono $\(00\)$ )	$1\,316$ : $\(16\)$
$\(5\)$	l'ultima cifra è $\(0\)$ o $\(5\)$	$2\,045$
$\(9\)$	la somma delle cifre è divisibile per $\(9\)$	$5\,382$ : $\(5 + 3 + 8 + 2 = 18\)$
$\(10\)$	l'ultima cifra è $\(0\)$	$7\,890$
$\(11\)$	la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e quella delle cifre di posto pari è $\(0\)$ o un multiplo di $\(11\)$	$2\,728$ : $\((8 + 7) - (2 + 2) = 11\)$