Il primo e il secondo teorema di Euclide sul triangolo rettangolo, le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa e come risolvere un triangolo rettangolo partendo da pochi dati.
L'altezza relativa all'ipotenusa
Prendi un triangolo rettangolo \(ABC\), con l'angolo retto in \(C\). Dal vertice \(C\) traccia l'altezza \(CH\) sull'ipotenusa \(AB\).
Il piede \(H\) divide l'ipotenusa in due parti:
\(AH\) è la proiezione del cateto \(AC\) sull'ipotenusa;
\(HB\) è la proiezione del cateto \(BC\) sull'ipotenusa.
L'altezza divide il triangolo in due triangoli più piccoli, \(ACH\) e \(CBH\). Hanno tutti e due un angolo retto e un angolo in comune con il triangolo grande: sono quindi simili al triangolo \(ABC\) (vedremo bene la similitudine nella prossima lezione). Da questa somiglianza vengono i due teoremi.
Useremo questi nomi:
\(c\): l'ipotenusa;
\(a\) e \(b\): i cateti;
\(p\) e \(q\): le proiezioni di \(a\) e di \(b\) sull'ipotenusa (quindi \(p + q = c\));
\(h\): l'altezza relativa all'ipotenusa.
I due teoremi
C'è anche una formula utile per l'altezza, che viene dall'area calcolata in due modi (\(\frac{ab}{2}\) e \(\frac{ch}{2}\)):
\[h = \frac{a \cdot b}{c}\]
Risolvere un triangolo rettangolo
Con Pitagora ed Euclide, partendo da due dati si trovano tutti gli altri.
Esercizi
Verifica veloce
Le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa misurano \(1\) e \(4\). Quanto misura l'altezza relativa all'ipotenusa?
Secondo teorema di Euclide: \(h^2 = 1 \cdot 4 = 4\), quindi \(h = 2\).
Verifica veloce
Un cateto misura \(6\) e l'ipotenusa \(9\). Quanto misura la proiezione del cateto sull'ipotenusa?
Primo teorema: \(36 = 9 \cdot p\), quindi \(p = 4\).
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