Figure simili e rapporto di similitudine, i criteri di similitudine dei triangoli, il rapporto tra perimetri e aree e il teorema di Talete.
Stessa forma, grandezza diversa
Una fotografia ingrandita, una mappa, il modellino di un'auto: sono figure che hanno la stessa forma dell'originale ma una grandezza diversa. In geometria si chiamano simili.
Per esempio, i triangoli con lati \(3\),\(4\),\(5\) e \(6\),\(8\),\(10\) sono simili con \(k = 2\): ogni lato del secondo è il doppio del lato corrispondente del primo.
I criteri di similitudine
Come per la congruenza, non serve controllare tutto.
Il primo criterio è il più usato: basta trovare due angoli uguali.
Perimetri e aree
Il motivo: l'area è un prodotto di due lunghezze, e ciascuna è moltiplicata per \(k\).
Il teorema di Talete
Se le parallele staccano sulla prima trasversale i segmenti \(AB\) e \(BC\) e sulla seconda i segmenti corrispondenti \(A'B'\) e \(B'C'\), allora
\[\frac{AB}{BC} = \frac{A'B'}{B'C'}\]
Una conseguenza importante: una retta parallela a un lato di un triangolo stacca un triangolo simile a quello di partenza.
Un'applicazione: le ombre
Talete, secondo la tradizione, misurò l'altezza di una piramide usando le ombre. Alla stessa ora i raggi del Sole arrivano paralleli: un oggetto e la sua ombra formano triangoli rettangoli simili.
Esercizi
Verifica veloce
Due figure sono simili con rapporto \(k = 2\). Qual è il rapporto tra le loro aree?
Il rapporto tra le aree è il quadrato del rapporto di similitudine.
Verifica veloce
Quale condizione basta per dire che due triangoli sono simili?
Se due angoli sono congruenti lo è anche il terzo: è il primo criterio di similitudine.
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