Il teorema di Pitagora | Geometria piana

L'enunciato

È probabilmente il teorema più famoso della matematica. Riguarda solo i triangoli rettangoli.

Il significato geometrico è proprio questo: se disegni un quadrato su ogni lato, l'area del quadrato grande (sull'ipotenusa) è uguale alla somma delle aree dei due quadrati piccoli.

Le formule inverse

Dall'enunciato si ricavano le formule per trovare qualsiasi lato conoscendo gli altri due:

c = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad\qquad a = \sqrt{c^2 - b^2} \qquad\qquad b = \sqrt{c^2 - a^2}

Per l'ipotenusa si somma, per un cateto si sottrae.

L'inverso del teorema

Serve a riconoscere un triangolo rettangolo dai soli lati.

Le terne di numeri interi che rispettano il teorema, come $$(3, 4, 5)$$ , $$(5, 12, 13)$$ , $$(8, 15, 17)$$ , $$(7, 24, 25)$$ , si chiamano terne pitagoriche. Anche i loro multipli lo sono: $$(6, 8, 10)$$ , $$(9, 12, 15)$$ .

Applicazioni alle figure

Il teorema si applica ogni volta che in una figura si riesce a "vedere" un triangolo rettangolo.

L'altezza del triangolo equilatero divide il triangolo in due triangoli rettangoli con ipotenusa $$l$$ e un cateto $\frac{l}{2}$ . Quindi $h = \sqrt{l^2 - \frac{l^2}{4}} = \sqrt{\frac{3l^2}{4}} = \frac{l\sqrt{3}}{2}$ .

Triangoli con angoli speciali

Due triangoli rettangoli compaiono così spesso che conviene ricordarne i lati.

Triangolo	Angoli	Lati
metà di un quadrato	$$45°$$ , $$45°$$ , $$90°$$	$$l$$ , $$l$$ , $l\sqrt{2}$
metà di un triangolo equilatero	$$30°$$ , $$60°$$ , $$90°$$	$\frac{l}{2}$ , $\frac{l\sqrt{3}}{2}$ , $$l$$

Nel triangolo con angoli di $$30°$$ e $$60°$$ , il cateto opposto all'angolo di $$30°$$ è metà dell'ipotenusa.

Esercizi

Verifica veloce

I cateti di un triangolo rettangolo misurano $$9$$ e $$12$$ . Quanto misura l'ipotenusa?

Verifica veloce

Quanto misura la diagonale di un quadrato di lato $$4$$ cm?

Triangolo	Angoli	Lati
metà di un quadrato	$\(45°\)$ , $\(45°\)$ , $\(90°\)$	$\(l\)$ , $\(l\)$ , $l\sqrt{2}$
metà di un triangolo equilatero	$\(30°\)$ , $\(60°\)$ , $\(90°\)$	$\frac{l}{2}$ , $\frac{l\sqrt{3}}{2}$ , $\(l\)$