Gradi, radianti e angoli orientati | Goniometria e trigonometria

Un'altra unità di misura

Finora abbiamo misurato gli angoli in gradi: un giro completo vale $$360°$$ . È una scelta antica e comoda (360 ha tanti divisori), ma arbitraria. In matematica si usa spesso un'unità più "naturale", legata alla circonferenza stessa: il radiante.

Quanti radianti ci sono in un giro? La circonferenza è lunga $2\pi r$ , cioè $2\pi$ volte il raggio. Quindi un giro misura $2\pi$ radianti.

360° = 2\pi \text{ rad} \qquad\qquad 180° = \pi \text{ rad}

Un radiante è circa $$57{,}3°$$ . Di solito la parola "rad" si sottintende: un angolo di $\frac{\pi}{2}$ è un angolo di $\frac{\pi}{2}$ radianti.

Passare da una misura all'altra

Gradi e radianti sono proporzionali:

Gradi	$$30°$$	$$45°$$	$$60°$$	$$90°$$	$$120°$$	$$180°$$	$$270°$$	$$360°$$
Radianti	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$	$2\pi$

La lunghezza di un arco

Il vantaggio dei radianti si vede subito con gli archi. Siccome un radiante corrisponde a un arco lungo $$r$$ , un angolo di $\alpha$ radianti corrisponde a un arco lungo $\alpha$ volte $$r$$ :

Con i gradi servirebbe la proporzione $\ell = \frac{\alpha°}{360°} \cdot 2\pi r$ . Con i radianti è una semplice moltiplicazione.

Gli angoli orientati

In goniometria un angolo si pensa come una rotazione: una semiretta parte dal semiasse positivo delle $$x$$ e gira intorno all'origine.

La rotazione in senso antiorario dà angoli positivi.
La rotazione in senso orario dà angoli negativi.
Si può girare più di una volta: un angolo di $$450°$$ è un giro completo più $$90°$$ .

Angoli che differiscono di un numero intero di giri finiscono nella stessa posizione: $$450°$$ e $$90°$$ , oppure $$-30°$$ e $$330°$$ . In radianti si scrive $\alpha + 2k\pi$ , con $$k$$ intero.

Esercizi

Verifica veloce

Quanti gradi sono $\frac{\pi}{2}$ radianti?

Verifica veloce

Circa quanti gradi misura un radiante?