Equazioni goniometriche riconducibili a elementari

La strategia

Quasi tutte le equazioni goniometriche si risolvono riducendole a una o più equazioni elementari (\(\sin x = a\), \(\cos x = a\), \(\tan x = a\)). Gli strumenti sono quelli dell'algebra: sostituzione, scomposizione, formule.

Equazioni di secondo grado

Se compare una sola funzione goniometrica, al quadrato e alla prima potenza, si pone \(t\) uguale a quella funzione.

Usare la relazione fondamentale

Se compaiono seno e coseno insieme, a volte la relazione \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) permette di passare a una sola funzione.

Scomporre in fattori

Come nelle equazioni algebriche, si porta tutto a sinistra, si raccoglie e si usa la legge di annullamento del prodotto.

Equazioni omogenee

Un'equazione come \(a\sin x + b\cos x = 0\) si dice omogenea di primo grado. I valori con \(\cos x = 0\) non sono soluzioni (darebbero \(\sin x = 0\) insieme a \(\cos x = 0\), impossibile), quindi si può dividere per \(\cos x\) e ottenere un'equazione in \(\tan x\).

Lo stesso funziona con le omogenee di secondo grado, come \(\sin^2 x - 3\sin x\cos x + 2\cos^2 x = 0\): dividendo per \(\cos^2 x\) si ottiene \(\tan^2 x - 3\tan x + 2 = 0\).

Esercizi