Teorema dei seni, teorema del coseno e area del triangolo | Goniometria e trigonometria

Oltre i triangoli rettangoli

I teoremi della lezione precedente valgono solo con un angolo retto. Per un triangolo qualsiasi servono altri due strumenti. Useremo i nomi soliti: lati $$a$$ , $$b$$ , $$c$$ e angoli opposti $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ .

L'area con il seno

Prima un risultato utile. Se conosci due lati e l'angolo compreso, l'altezza relativa al lato $$b$$ è $a\sin\gamma$ (è un cateto di un triangolo rettangolo con ipotenusa $$a$$ ). Quindi:

Il teorema dei seni

Scrivendo l'area in tre modi diversi (con ogni coppia di lati) e uguagliando, si ottiene:

Si usa quando si conoscono un lato e l'angolo opposto, più un altro elemento.

Il teorema del coseno

Se $\gamma = 90°$ , il coseno è zero e si ritrova il teorema di Pitagora. Il teorema del coseno è una generalizzazione di Pitagora.

Si usa in due situazioni:

si conoscono due lati e l'angolo compreso e si cerca il terzo lato;
si conoscono tre lati e si cercano gli angoli.

Esercizi

Verifica veloce

Cosa diventa il teorema del coseno se l'angolo $\gamma$ è retto?

Verifica veloce

Qual è l'area di un triangolo con due lati di $$4$$ e $$5$$ e angolo compreso di $$90°$$ ?