Dalla circonferenza al triangolo In un triangolo rettangolo con ipotenusa \(a\) ,\(b\) e \(c\) e angoli acuti \(\beta\) (opposto a \(b\) )\(\gamma\) (opposto a \(c\) ),
RegolaTeoremi sui triangoli rettangoli
Un cateto è uguale all'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto al cateto, o per il coseno dell'angolo adiacente : \[b = a\sin\beta = a\cos\gamma\]
Un cateto è uguale all'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto al primo: \[b = c\tan\beta\]
Si possono leggere anche al contrario, per trovare gli angoli:
\[\sin\beta = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}} \qquad \cos\beta = \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{ipotenusa}} \qquad \tan\beta = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}}\]
Risolvere un triangolo rettangolo Risolvere un triangolo significa trovare tutti i lati e gli angoli. In un triangolo rettangolo bastano due dati, di cui almeno uno sia un lato.
EsempioIpotenusa e un angolo
Ipotenusa \(10\) cm, angolo \(\beta = 30°\) .
\[b = 10\sin 30° = 5 \text{ cm} \qquad c = 10\cos 30° = 5\sqrt{3} \text{ cm} \qquad \gamma = 90° - 30° = 60°\]
EsempioDue cateti
Cateti \(b = 3\) e \(c = 4\) .\(5\) .
\[\tan\beta = \frac{3}{4} \quad \Rightarrow \quad \beta = \arctan\frac{3}{4} \approx 36{,}87° \qquad \gamma \approx 53{,}13°\]
Problemi reali EsempioUna scala appoggiata
Una scala lunga \(6\) m forma un angolo di \(60°\) con il pavimento. A che altezza arriva sul muro?
L'altezza è il cateto opposto all'angolo di \(60°\) :
\[h = 6\sin 60° = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5{,}20 \text{ m}\]
EsempioL'altezza di un albero
Da \(20\) m di distanza dalla base di un albero, la cima si vede con un angolo di \(35°\) rispetto all'orizzontale. Quanto è alto l'albero (trascurando l'altezza degli occhi)?
\[h = 20\tan 35° \approx 20 \cdot 0{,}700 \approx 14{,}0 \text{ m}\]
NotaLa pendenza
La pendenza di una strada è la tangente dell'angolo che forma con l'orizzontale: una pendenza del \(10\%\) significa che si sale di \(10\) m ogni \(100\) m in orizzontale, cioè \(\tan\alpha = 0{,}1\) ,\(\alpha \approx 5{,}7°\) .
AttenzioneOpposto o adiacente?
Prima di scrivere la formula, guarda bene l'angolo: il cateto opposto non tocca l'angolo, quello adiacente sì. Con il seno ci va l'opposto, con il coseno l'adiacente.
Esercizi Esercizio
Un cateto misura \(7\) cm e l'angolo acuto adiacente a esso è \(60°\) .
Mostra Nascondi la soluzioneL'altro cateto è opposto all'angolo di \(60°\) :\(7\tan 60° = 7\sqrt{3}\) cm.
L'ipotenusa: \(\frac{7}{\cos 60°} = \frac{7}{1/2} = 14\) cm.
Verifica veloce
In un triangolo rettangolo, un cateto è uguale all'ipotenusa per:
A la tangente dell'angolo opposto B il seno dell'angolo opposto C il coseno dell'angolo opposto D il seno dell'angolo adiacente
\(b = a\sin\beta\) ,\(\beta\) opposto a \(b\) .
Verifica veloce
La tangente di un angolo acuto di un triangolo rettangolo è uguale a:
A ipotenusa diviso cateto opposto B cateto opposto diviso cateto adiacente C cateto adiacente diviso ipotenusa D cateto opposto diviso ipotenusa
\(\tan\beta = \frac{\text{opposto}}{\text{adiacente}}\) .