Seno e coseno

La circonferenza goniometrica

Un angolo $\alpha$ individua un punto $$P$$ sulla circonferenza: quello in cui il secondo lato dell'angolo la taglia.

Siccome $$P$$ sta su una circonferenza di raggio $$1$$ , le sue coordinate sono comprese tra $$-1$$ e $$1$$ :

-1 \le \sin\alpha \le 1 \qquad\qquad -1 \le \cos\alpha \le 1

Gli angoli che finiscono sugli assi danno valori immediati:

$\alpha$	$$0$$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$
punto $$P$$	$(1;\, 0)$	$(0;\, 1)$	$(-1;\, 0)$	$(0;\, -1)$
$\cos\alpha$	$$1$$	$$0$$	$$-1$$	$$0$$
$\sin\alpha$	$$0$$	$$1$$	$$0$$	$$-1$$

Il punto $P(\cos\alpha;\, \sin\alpha)$ dista $$1$$ dall'origine. Per il teorema di Pitagora:

Conoscendo il seno si trova il coseno, e viceversa, a meno del segno:

\cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha} \qquad\qquad \sin\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha}

Il segno giusto dipende dal quadrante in cui si trova l'angolo.

Quadrante	Angoli	$\sin\alpha$	$\cos\alpha$
primo	tra $$0$$ e $\frac{\pi}{2}$	$$+$$	$$+$$
secondo	tra $\frac{\pi}{2}$ e $\pi$	$$+$$	$$-$$
terzo	tra $\pi$ e $\frac{3\pi}{2}$	$$-$$	$$-$$
quarto	tra $\frac{3\pi}{2}$ e $2\pi$	$$-$$	$$+$$

Non serve impararla a memoria: basta immaginare dove sta il punto $$P$$ e guardare il segno delle sue coordinate.

Verifica veloce

Per ogni angolo $\alpha$ , quanto vale $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ ?

Verifica veloce

Che segno ha il coseno di un angolo del secondo quadrante?

$\alpha$	$\(0\)$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$
punto $\(P\)$	$(1;\, 0)$	$(0;\, 1)$	$(-1;\, 0)$	$(0;\, -1)$
$\cos\alpha$	$\(1\)$	$\(0\)$	$\(-1\)$	$\(0\)$
$\sin\alpha$	$\(0\)$	$\(1\)$	$\(0\)$	$\(-1\)$

Quadrante	Angoli	$\sin\alpha$	$\cos\alpha$
primo	tra $\(0\)$ e $\frac{\pi}{2}$	$\(+\)$	$\(+\)$
secondo	tra $\frac{\pi}{2}$ e $\pi$	$\(+\)$	$\(-\)$
terzo	tra $\pi$ e $\frac{3\pi}{2}$	$\(-\)$	$\(-\)$
quarto	tra $\frac{3\pi}{2}$ e $2\pi$	$\(-\)$	$\(+\)$