Equazioni goniometriche elementari

Infinite soluzioni

L'equazione \(\sin x = \frac{1}{2}\) ha la soluzione \(x = \frac{\pi}{6}\). Ma non è l'unica: anche \(\frac{5\pi}{6}\) ha seno \(\frac{1}{2}\), e poi tutti gli angoli che si ottengono aggiungendo giri completi. Le equazioni goniometriche hanno di solito infinite soluzioni, e si scrivono usando la periodicità.

L'equazione \(\sin x = a\)

Sulla circonferenza goniometrica si cercano i punti con ordinata \(a\): si traccia la retta orizzontale \(y = a\).

I due "rami" vengono dai due punti della circonferenza con la stessa ordinata, simmetrici rispetto all'asse \(y\).

Casi particolari: \(\sin x = 0\) per \(x = k\pi\); \(\sin x = 1\) per \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\); \(\sin x = -1\) per \(x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\).

L'equazione \(\cos x = a\)

Si cercano i punti con ascissa \(a\), sulla retta verticale \(x = a\). I due punti sono simmetrici rispetto all'asse \(x\).

L'equazione \(\tan x = a\)

La tangente assume tutti i valori reali e ha periodo \(\pi\), quindi c'è sempre soluzione e basta un solo ramo.

Quando \(a\) non è un valore notevole

Se il valore non corrisponde a un angolo notevole si usano le funzioni inverse della calcolatrice: \(\arcsin\), \(\arccos\), \(\arctan\) (spesso indicate con \(\sin^{-1}\), \(\cos^{-1}\), \(\tan^{-1}\)). Per esempio \(\sin x = 0{,}3\) ha soluzioni \(x = \arcsin 0{,}3 + 2k\pi\) e \(x = \pi - \arcsin 0{,}3 + 2k\pi\), con \(\arcsin 0{,}3 \approx 0{,}305\).

Esercizi