Tangente e cotangente | Goniometria e trigonometria

La tangente

A differenza di seno e coseno, la tangente può assumere qualsiasi valore reale.

Il segno della tangente segue dalla regola dei segni: è positiva nel primo e terzo quadrante (seno e coseno con lo stesso segno), negativa nel secondo e quarto.

Il significato geometrico

Traccia la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto $(1;\, 0)$ , cioè la retta $$x = 1$$ . Prolunga il secondo lato dell'angolo fino a incontrarla nel punto $$T$$ . Allora

\tan\alpha = y_T

Il motivo: i triangoli formati con l'asse $$x$$ sono simili, e il rapporto tra il cateto verticale e quello orizzontale è $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ nel triangolo piccolo e $\frac{y_T}{1}$ in quello grande. Quando $\alpha$ si avvicina a $\frac{\pi}{2}$ , il secondo lato diventa quasi verticale e $$T$$ sale all'infinito: per questo $\tan\frac{\pi}{2}$ non esiste.

Tangente e coefficiente angolare

La retta passante per l'origine che forma un angolo $\alpha$ con il semiasse positivo delle $$x$$ contiene il punto $(\cos\alpha;\, \sin\alpha)$ . Il suo coefficiente angolare è

m = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha

Per esempio, la retta $y = \sqrt{3}\,x$ forma un angolo di $$60°$$ con l'asse $$x$$ , perché $\tan 60° = \sqrt{3}$ .

La cotangente

Dalla tangente a seno e coseno

Dividendo la relazione fondamentale per $\cos^2\alpha$ si ottiene un'altra relazione utile:

1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}

Quindi, conoscendo la tangente:

\cos\alpha = \pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2\alpha}} \qquad\qquad \sin\alpha = \tan\alpha \cdot \cos\alpha

Esercizi

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Per quale di questi angoli la tangente non esiste?

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Quanto vale $\tan\frac{\pi}{4}$ ?