Angoli notevoli e angoli associati | Goniometria e trigonometria

Gli angoli notevoli

Per tre angoli i valori esatti si ricavano con la geometria.

$$45°$$ . Il punto $$P$$ sta sulla bisettrice del primo quadrante, quindi ha ascissa e ordinata uguali. Con la relazione fondamentale: $2\sin^2 45° = 1$ , cioè $\sin 45° = \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$$30°$$ e $$60°$$ . Un triangolo equilatero di lato $$1$$ , tagliato a metà dall'altezza, dà un triangolo rettangolo con angoli di $$30°$$ e $$60°$$ , ipotenusa $$1$$ , cateto minore $\frac{1}{2}$ e cateto maggiore $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

RegolaValori degli angoli notevoli

$\alpha$	$$0$$	$\frac{\pi}{6}$ ( $$30°$$ )	$\frac{\pi}{4}$ ( $$45°$$ )	$\frac{\pi}{3}$ ( $$60°$$ )	$\frac{\pi}{2}$ ( $$90°$$ )
$\sin\alpha$	$$0$$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$$1$$
$\cos\alpha$	$$1$$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$$0$$
$\tan\alpha$	$$0$$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$$1$$	$\sqrt{3}$	non esiste

Gli angoli associati

Come si calcola $\sin 150°$ ? Il punto $$P$$ di $$150°$$ è il simmetrico, rispetto all'asse $$y$$ , del punto di $$30°$$ . Stessa ordinata, ascissa opposta. Quindi $\sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2}$ e $\cos 150° = -\cos 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Ragionando con le simmetrie della circonferenza si ottengono le formule degli angoli associati.

RegolaAngoli associati

Angolo	Simmetria	Seno	Coseno
$\pi - \alpha$ (supplementare)	rispetto all'asse $$y$$	$\sin\alpha$	$-\cos\alpha$
$\pi + \alpha$	rispetto all'origine	$-\sin\alpha$	$-\cos\alpha$
$-\alpha$ (opposto)	rispetto all'asse $$x$$	$-\sin\alpha$	$\cos\alpha$
$2\pi - \alpha$	rispetto all'asse $$x$$	$-\sin\alpha$	$\cos\alpha$
$\frac{\pi}{2} - \alpha$ (complementare)	rispetto alla bisettrice	$\cos\alpha$	$\sin\alpha$

Anche qui non serve imparare tutto a memoria: basta disegnare il punto, riconoscere l'angolo "di riferimento" nel primo quadrante e mettere il segno giusto in base al quadrante.

Esercizi

Verifica veloce

Quanto vale $\cos\pi$ ?

Verifica veloce

Quanto vale $\sin 330°$ ?

$\alpha$	$\(0\)$	$\frac{\pi}{6}$ ( $\(30°\)$ )	$\frac{\pi}{4}$ ( $\(45°\)$ )	$\frac{\pi}{3}$ ( $\(60°\)$ )	$\frac{\pi}{2}$ ( $\(90°\)$ )
$\sin\alpha$	$\(0\)$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\(1\)$
$\cos\alpha$	$\(1\)$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\(0\)$
$\tan\alpha$	$\(0\)$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\(1\)$	$\sqrt{3}$	non esiste

Angolo	Simmetria	Seno	Coseno
$\pi - \alpha$ (supplementare)	rispetto all'asse $\(y\)$	$\sin\alpha$	$-\cos\alpha$
$\pi + \alpha$	rispetto all'origine	$-\sin\alpha$	$-\cos\alpha$
$-\alpha$ (opposto)	rispetto all'asse $\(x\)$	$-\sin\alpha$	$\cos\alpha$
$2\pi - \alpha$	rispetto all'asse $\(x\)$	$-\sin\alpha$	$\cos\alpha$
$\frac{\pi}{2} - \alpha$ (complementare)	rispetto alla bisettrice	$\cos\alpha$	$\sin\alpha$