Lo studio di funzione | Analisi matematica

Mettere tutto insieme

Lo studio di funzione riunisce tutti gli strumenti visti finora per disegnare il grafico di una funzione con precisione, senza calcolare centinaia di punti.

Un esempio completo: $f(x) = \frac{x^2}{x - 1}$

1. Dominio. $x \neq 1$ .

2. Simmetrie. $f(-x) = \frac{x^2}{-x - 1}$ , che non è né $$f(x)$$ né $$-f(x)$$ : nessuna simmetria.

3. Intersezioni. Con $$x = 0$$ si ha $$f(0) = 0$$ : il grafico passa per l'origine, che è anche l'unico zero.

4. Segno. Il numeratore $$x^2$$ è sempre $\ge 0$ , quindi il segno è quello di $$x - 1$$ : $$f(x) < 0$$ per $$x < 1$$ (tranne in $$0$$ , dove vale zero) e $$f(x) > 0$$ per $$x > 1$$ .

5. Asintoti.

\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty \qquad \lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty

Asintoto verticale $$x = 1$$ . Il grado del numeratore supera di uno quello del denominatore; dividendo:

\frac{x^2}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}

Asintoto obliquo $$y = x + 1$$ .

6. Derivata prima.

f'(x) = \frac{2x(x - 1) - x^2}{(x - 1)^2} = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}

Il denominatore è positivo; il segno è quello di $$x(x - 2)$$ :

	$$x < 0$$	$$0 < x < 1$$	$$1 < x < 2$$	$$x > 2$$
$$f'(x)$$	$$+$$	$$-$$	$$-$$	$$+$$
$$f$$	cresce	decresce	decresce	cresce

Massimo relativo in $(0;\, 0)$ , minimo relativo in $(2;\, 4)$ .

7. Derivata seconda. Dalla forma $f(x) = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$ :

f'(x) = 1 - \frac{1}{(x - 1)^2} \qquad\qquad f''(x) = \frac{2}{(x - 1)^3}

$$f'' < 0$$ per $$x < 1$$ (concavità verso il basso), $$f'' > 0$$ per $$x > 1$$ (verso l'alto). Nessun flesso: la concavità cambia in $$x = 1$$ , che non appartiene al dominio.

8. Grafico. A sinistra dell'asintoto verticale il grafico sale lungo l'asintoto obliquo, raggiunge il massimo nell'origine e precipita verso $-\infty$ ; a destra scende da $+\infty$ , tocca il minimo in $(2;\, 4)$ e risale avvicinandosi alla retta $$y = x + 1$$ dall'alto.

Esercizi

Verifica veloce

Nello studio di funzione, che cosa si ricava dalla derivata seconda?