Lezione 6 di 12, 13 minuti di lettura
La derivata
Il rapporto incrementale, la definizione di derivata, il suo significato geometrico come pendenza della retta tangente e fisico come velocità, e i punti di non derivabilità.
Quanto cambia una funzione?
Un'auto percorre \(s(t)\) metri in \(t\) secondi. La velocità media tra due istanti è lo spazio percorso diviso il tempo impiegato. Ma il tachimetro mostra la velocità in un istante. Come si calcola? Prendendo intervalli di tempo sempre più piccoli: è un limite. Questa idea, applicata a qualsiasi funzione, è la derivata.
Il rapporto incrementale
La derivata
Quando \(h \to 0\) il secondo punto scivola verso il primo e la retta secante diventa la retta tangente.
La funzione derivata
Ripetendo il calcolo in un punto generico \(x\) si ottiene una nuova funzione, la funzione derivata \(f'(x)\).
Il significato fisico
Se \(s(t)\) è la posizione in funzione del tempo, \(s'(t)\) è la velocità istantanea. E la derivata della velocità è l'accelerazione. Più in generale la derivata misura la rapidità di variazione di una grandezza.
Punti di non derivabilità
\(f(x) = |x|\) è continua in \(0\), ma il rapporto incrementale vale \(1\) da destra e \(-1\) da sinistra: la derivata non esiste. Il grafico ha un punto angoloso, uno "spigolo" dove non c'è un'unica tangente.
Esercizi
Verifica veloce
Che cosa rappresenta geometricamente \(f'(x_0)\)?
La derivata è il limite delle pendenze delle secanti, cioè la pendenza della tangente.
Verifica veloce
La funzione \(|x|\) in \(x = 0\) è:
Il grafico ha uno spigolo: le pendenze da destra e da sinistra sono diverse.
Hai finito questa lezione?
Segnala come completata: resta salvata su questo dispositivo. Crea un account per ritrovarla ovunque.