Lezione 12 di 12, 14 minuti di lettura
Gli integrali definiti e il calcolo delle aree
L'integrale definito come area, il teorema fondamentale del calcolo integrale, le proprietà e il calcolo di aree sotto una curva e tra due curve.
Il problema dell'area
Come si calcola l'area della regione compresa tra il grafico di \(f(x) = x^2\), l'asse \(x\) e le rette \(x = 0\) e \(x = 2\)? Non è un poligono: il bordo è curvo.
L'idea è approssimarla con tanti rettangoli sottili: si divide l'intervallo \([0;\, 2]\) in \(n\) parti uguali e su ciascuna si costruisce un rettangolo alto quanto la funzione. Più i rettangoli sono sottili, più la somma delle loro aree si avvicina all'area cercata.
Il teorema fondamentale
Calcolare quel limite ogni volta sarebbe lunghissimo. Il teorema fondamentale del calcolo integrale collega l'area alle primitive, cioè agli integrali indefiniti.
È uno dei risultati più importanti della matematica: derivate e aree, due problemi che sembrano lontanissimi, sono uno l'inverso dell'altro.
La costante \(C\) non serve: nella differenza \(F(b) - F(a)\) si cancellerebbe.
Quando la funzione è negativa
Se \(f\) è negativa, i rettangoli hanno "altezza negativa" e l'integrale viene negativo. Per avere l'area si prende il valore assoluto, spezzando l'integrale dove la funzione cambia segno.
Area tra due curve
Esercizi
Verifica veloce
Se \(F\) è una primitiva di \(f\), quanto vale \(\int_a^b f(x)\,dx\)?
È il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Verifica veloce
Quanto vale \(\int_0^3 2\,dx\)?
È l'area di un rettangolo di base \(3\) e altezza \(2\).
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