Come trovare gli asintoti verticali, orizzontali e obliqui di una funzione usando i limiti.
Rette a cui il grafico si avvicina
Un asintoto è una retta a cui il grafico di una funzione si avvicina sempre di più, man mano che ci si allontana verso l'infinito. Gli asintoti danno la "forma lontana" del grafico e si trovano con i limiti.
Asintoti verticali
Si cercano nei punti esclusi dal dominio (dove si annulla un denominatore) e agli estremi del dominio (per esempio \(x = 0\) per \(\ln x\)).
Asintoti orizzontali
Il grafico può anche attraversare un asintoto orizzontale in qualche punto: conta solo il comportamento lontano.
Asintoti obliqui
Se \(f(x) \to \pm\infty\) per \(x \to \pm\infty\), il grafico può comunque avvicinarsi a una retta inclinata.
Per le funzioni razionali c'è un asintoto obliquo quando il grado del numeratore supera di uno quello del denominatore. In questo caso si trova anche con la divisione tra polinomi: il quoziente è l'asintoto.
Esercizi
Verifica veloce
Quale asintoto orizzontale ha \(f(x) = \frac{5x - 2}{x + 4}\)?
Gradi uguali: il rapporto dei coefficienti direttivi è \(5\).
Verifica veloce
Una funzione razionale ha numeratore di grado \(3\) e denominatore di grado \(2\). Per \(x \to \pm\infty\) avrà:
Il grado del numeratore supera di uno quello del denominatore.
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