Il calcolo dei limiti e le forme indeterminate | Analisi matematica

L'algebra dei limiti

Se $\lim f = \ell_1$ e $\lim g = \ell_2$ sono numeri, il limite di somma, prodotto e quoziente si calcola con i limiti: $\ell_1 + \ell_2$ , $\ell_1 \cdot \ell_2$ , $\frac{\ell_1}{\ell_2}$ (se $\ell_2 \neq 0$ ).

Con gli infiniti valgono regole intuitive:

Situazione	Risultato
numero $+ \infty$	$+\infty$
$+\infty + \infty$	$+\infty$
numero positivo $\cdot\, \infty$	$\infty$ (con il segno giusto)
$\frac{\text{numero}}{\infty}$	$$0$$
$\frac{\text{numero} \neq 0}{0}$	$\infty$ (segno da studiare)

Le forme indeterminate

In alcuni casi le regole non bastano: il risultato dipende dalle funzioni. Sono le forme indeterminate:

\frac{0}{0} \qquad \frac{\infty}{\infty} \qquad +\infty - \infty \qquad 0 \cdot \infty \qquad 1^\infty \qquad 0^0 \qquad \infty^0

Davanti a una forma indeterminata bisogna trasformare l'espressione.

La forma $\frac{0}{0}$ : scomporre e semplificare

Nelle funzioni razionali, se numeratore e denominatore si annullano in $$x_0$$ , entrambi sono divisibili per $$(x - x_0)$$ .

La forma $\frac{\infty}{\infty}$ : raccogliere la potenza più alta

Per $x \to \pm\infty$ , in un polinomio conta solo il termine di grado più alto.

La forma $+\infty - \infty$

Esercizi

Verifica veloce

Quanto vale $\lim_{x \to +\infty} \frac{4x + 1}{x^2 + 3}$ ?

Verifica veloce

Quale di queste è una forma indeterminata?