Limiti notevoli e funzioni continue | Analisi matematica

I limiti notevoli

Alcune forme indeterminate compaiono così spesso che conviene conoscerne il risultato. Sono i limiti notevoli.

Il primo dice che, per angoli piccoli in radianti, $\sin x \approx x$ : per esempio $\sin 0{,}01 \approx 0{,}0099998$ .

Per usarli si cerca di riportarsi alla loro forma, spesso con un cambio di variabile.

Le funzioni continue

Intuitivamente: il grafico si disegna senza staccare la penna vicino a $$x_0$$ . Polinomi, funzioni razionali, radici, esponenziali, logaritmi, seno e coseno sono continue in tutto il loro dominio, ed è per questo che per loro il limite si calcola sostituendo.

I punti di discontinuità

Tipo	Che cosa succede	Esempio
prima specie (salto)	limiti destro e sinistro finiti ma diversi	la funzione segno in $$0$$
seconda specie	almeno un limite laterale infinito o inesistente	$\frac{1}{x}$ in $$0$$
terza specie (eliminabile)	il limite esiste finito ma $$f(x_0)$$ non esiste o è diverso	$\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ in $$1$$

Una discontinuità eliminabile si "ripara" ridefinendo la funzione nel punto con il valore del limite.

Due teoremi sulle funzioni continue

Serve, per esempio, a dimostrare che un'equazione ha soluzione: $$x^3 + x - 1 = 0$$ ha una soluzione tra $$0$$ e $$1$$ , perché $$f(0) = -1 < 0$$ e $$f(1) = 1 > 0$$ .

Esercizi

Verifica veloce

Quanto vale $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ ?

Verifica veloce

Una funzione continua in $[0;\, 2]$ ha $$f(0) = 3$$ e $$f(2) = -1$$ . Che cosa si può dire?

Tipo	Che cosa succede	Esempio
prima specie (salto)	limiti destro e sinistro finiti ma diversi	la funzione segno in $\(0\)$
seconda specie	almeno un limite laterale infinito o inesistente	$\frac{1}{x}$ in $\(0\)$
terza specie (eliminabile)	il limite esiste finito ma $\(f(x_0)\)$ non esiste o è diverso	$\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ in $\(1\)$