Le funzioni reali di variabile reale

Che cos'è una funzione

In analisi lavoreremo con funzioni reali di variabile reale, in cui \(x\) e \(y\) sono numeri reali, date di solito con una formula come \(f(x) = x^2 - 1\). Il grafico di \(f\) è l'insieme dei punti \((x;\, f(x))\) del piano cartesiano.

Dominio e immagine

Per trovare il dominio di una funzione data da una formula si escludono i valori che creano problemi:

Zeri e segno

Gli zeri di \(f\) sono le soluzioni di \(f(x) = 0\): i punti in cui il grafico taglia l'asse \(x\). Lo studio del segno dice dove il grafico sta sopra (\(f(x) > 0\)) o sotto (\(f(x) < 0\)) l'asse \(x\).

Simmetrie

La maggior parte delle funzioni non è né pari né dispari.

Crescenza

\(f\) è crescente in un intervallo se, quando \(x\) aumenta, anche \(f(x)\) aumenta: \(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\). È decrescente se \(f(x)\) diminuisce. Con le derivate avremo uno strumento potente per studiarlo.

Funzione composta

Funzione inversa

Se una funzione associa valori diversi a \(x\) diverse (è iniettiva), si può "tornare indietro": la funzione inversa \(f^{-1}\) associa a ogni \(y\) l'unico \(x\) con \(f(x) = y\). Il grafico di \(f^{-1}\) è il simmetrico di quello di \(f\) rispetto alla retta \(y = x\).

Esercizi