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Concavità e punti di flesso
Come la derivata seconda dice da che parte è rivolta la concavità di una funzione, come trovare i punti di flesso e come usare la derivata seconda per classificare i punti stazionari.
Da che parte "curva" il grafico
Due funzioni possono essere entrambe crescenti ma curvare in modo diverso: \(x^2\) (per \(x > 0\)) cresce sempre più in fretta, \(\sqrt{x}\) sempre più piano. La differenza sta nella concavità.
Una parabola \(y = ax^2\) con \(a > 0\) ha la concavità verso l'alto, a forma di "U"; con \(a < 0\) verso il basso.
La derivata seconda
Se la concavità è verso l'alto, le pendenze delle tangenti aumentano muovendosi verso destra: \(f'\) è crescente, quindi \(f'' > 0\).
I punti di flesso
Il test della derivata seconda
La derivata seconda offre anche un modo rapido per classificare i punti stazionari:
Esercizi
Verifica veloce
In un intervallo \(f''(x) < 0\). La concavità è:
Derivata seconda negativa: le pendenze diminuiscono e il grafico curva verso il basso.
Verifica veloce
In \(x_0\) si ha \(f'(x_0) = 0\) e \(f''(x_0) = 5\). Che cosa c'è in \(x_0\)?
Tangente orizzontale e concavità verso l'alto: è un minimo.
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