Il concetto di limite | Analisi matematica

Avvicinarsi senza arrivare

La funzione $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ non è definita in $$x = 2$$ (il denominatore si annulla). Ma che cosa succede vicino a $$2$$ ?

$$x$$	$$1{,}9$$	$$1{,}99$$	$$1{,}999$$	$$2{,}001$$	$$2{,}01$$	$$2{,}1$$
$$f(x)$$	$$3{,}9$$	$$3{,}99$$	$$3{,}999$$	$$4{,}001$$	$$4{,}01$$	$$4{,}1$$

Quando $$x$$ si avvicina a $$2$$ , $$f(x)$$ si avvicina a $$4$$ . Si scrive

\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4

e si legge "il limite per $$x$$ che tende a $$2$$ di $$f(x)$$ è $$4$$ ". Infatti, per $x \neq 2$ , $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2$ .

Il valore di $$f$$ nel punto $$x_0$$ non conta: può non esistere, o essere diverso dal limite. Conta solo il comportamento vicino a $$x_0$$ .

Limiti infiniti

Vicino a $$0$$ , la funzione $\frac{1}{x^2}$ diventa enorme: $\frac{1}{0{,}01^2} = 10\,000$ . Non si avvicina a nessun numero, ma cresce senza limite:

\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty

Il grafico ha un asintoto verticale in $$x = 0$$ .

Limiti all'infinito

Ci si può chiedere anche che cosa succede quando $$x$$ diventa grandissimo:

\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 \qquad\qquad \lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty \qquad\qquad \lim_{x \to -\infty} e^x = 0

Un limite finito per $x \to \pm\infty$ indica un asintoto orizzontale.

Limite destro e sinistro

A volte il comportamento è diverso a destra e a sinistra di $$x_0$$ .

Funzioni "che si comportano bene"

Per le funzioni elementari (polinomi, esponenziali, logaritmi, seno, coseno...) in un punto del loro dominio il limite si calcola sostituendo: $\lim_{x \to 3}(2x + 1) = 7$ . Questa proprietà si chiama continuità e la vedremo meglio più avanti. I casi interessanti sono quelli in cui la sostituzione non funziona.

Esercizi

Verifica veloce

Quanto vale $\lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x}$ ?

Verifica veloce

Il limite destro e il limite sinistro di $$f$$ in $$x_0$$ sono diversi. Allora $\lim_{x \to x_0} f(x)$ :