Crescenza, massimi, minimi e problemi di ottimizzazione | Analisi matematica

Derivata e crescenza

Se la tangente sale (pendenza positiva), il grafico sale; se scende, il grafico scende. La derivata prima dice quindi dove la funzione cresce.

Massimi e minimi relativi

In un massimo o minimo in cui $$f$$ è derivabile, la tangente è orizzontale: $$f'(x_0) = 0$$ . I punti con derivata nulla si chiamano punti stazionari.

EsempioStudia $$f(x) = x^3 - 3x$$

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$$ , nulla in $x = \pm 1$ .

	$$x < -1$$	$$-1 < x < 1$$	$$x > 1$$
$$f'(x)$$	$$+$$	$$-$$	$$+$$
$$f$$	cresce	decresce	cresce

Massimo relativo in $$x = -1$$ , con $$f(-1) = 2$$ . Minimo relativo in $$x = 1$$ , con $$f(1) = -2$$ .

Problemi di ottimizzazione

Molti problemi chiedono il valore migliore di qualcosa: l'area più grande, il costo più basso, la distanza minima. Si traducono nella ricerca del massimo o del minimo di una funzione.

Esercizi

Verifica veloce

La derivata di $$f$$ passa da negativa a positiva in $$x_0$$ . In $$x_0$$ c'è:

Verifica veloce

Dove ha il minimo la funzione $$f(x) = x^2 - 4x + 1$$ ?

	$\(x < -1\)$	$\(-1 < x < 1\)$	$\(x > 1\)$
$\(f'(x)\)$	$\(+\)$	$\(-\)$	$\(+\)$
$\(f\)$	cresce	decresce	cresce