Gli integrali indefiniti | Analisi matematica

Il percorso inverso della derivata

Derivare vuol dire, data una funzione, trovarne la pendenza. Ora facciamo il contrario: data la derivata, trovare la funzione.

Per esempio $$x^2$$ è una primitiva di $$2x$$ . Ma lo sono anche $$x^2 + 5$$ e $$x^2 - 3$$ : le costanti hanno derivata zero. Tutte le primitive di una funzione differiscono per una costante.

Gli integrali immediati

Leggendo al contrario la tabella delle derivate si ottiene quella degli integrali.

RegolaIntegrali immediati

$$f(x)$$	$\int f(x)\,dx$
$$x^n$$ (con $n \neq -1$ )	$\frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$
$\frac{1}{x}$	$\ln\lvert x\rvert + C$
$$e^x$$	$$e^x + C$$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\frac{1}{\cos^2 x}$	$\tan x + C$

Per controllare un integrale basta derivare il risultato: si deve ritrovare l'integranda.

La linearità

Funzioni composte

Leggendo al contrario la regola della catena: se l'integranda contiene una funzione e la sua derivata, l'integrale è immediato.

Esercizi

Verifica veloce

Quanto vale $\int x^4\,dx$ ?

Verifica veloce

Quale funzione è una primitiva di $\frac{1}{x}$ per $$x > 0$$ ?

$\(f(x)\)$	$\int f(x)\,dx$
$\(x^n\)$ (con $n \neq -1$ )	$\frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$
$\frac{1}{x}$	$\ln\lvert x\rvert + C$
$\(e^x\)$	$\(e^x + C\)$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\frac{1}{\cos^2 x}$	$\tan x + C$