Le regole di derivazione | Analisi matematica

Le derivate fondamentali

Calcolare ogni volta il limite del rapporto incrementale sarebbe faticoso. Una volta calcolate le derivate delle funzioni elementari, bastano poche regole per derivare qualsiasi funzione.

RegolaDerivate fondamentali

$$f(x)$$	$$f'(x)$$
$$k$$ (costante)	$$0$$
$$x^n$$	$nx^{n - 1}$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\frac{1}{\cos^2 x}$
$$e^x$$	$$e^x$$
$$a^x$$	$a^x \ln a$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$

La regola $x^n \to nx^{n-1}$ vale per qualsiasi esponente reale: per esempio $\frac{1}{x} = x^{-1}$ ha derivata $-x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$ , e $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ ha derivata $\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$ .

La funzione $$e^x$$ ha una proprietà unica: è uguale alla sua derivata. È il motivo per cui $$e$$ è la base "naturale".

Somma e prodotto per una costante

Prodotto e quoziente

La funzione composta

Derivate successive

La derivata di $$f'$$ si chiama derivata seconda, $$f''$$ , e così via. Per esempio, con $$f(x) = x^3$$ : $$f'(x) = 3x^2$$ , $$f''(x) = 6x$$ , $$f'''(x) = 6$$ . La derivata seconda servirà a studiare la concavità.

Esercizi

Verifica veloce

Qual è la derivata di $\cos x$ ?

Verifica veloce

Qual è la derivata di $e^{5x}$ ?

$\(f(x)\)$	$\(f'(x)\)$
$\(k\)$ (costante)	$\(0\)$
$\(x^n\)$	$nx^{n - 1}$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\frac{1}{\cos^2 x}$
$\(e^x\)$	$\(e^x\)$
$\(a^x\)$	$a^x \ln a$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$