Un numero che dipende dal caso Lancia due monete e conta le teste: il risultato può essere \(0\) ,\(1\) o \(2\) ,variabile casuale (o aleatoria).
DefinizioneVariabile casuale discreta
Una variabile casuale discreta \(X\) assume un numero finito (o numerabile) di valori \(x_1, x_2, \ldots\) ,\(p_1, p_2, \ldots\) .distribuzione di probabilità , e
\[p_1 + p_2 + \cdots = 1\]
EsempioIl numero di teste in due lanci
\(x\) \(0\) \(1\) \(2\) \(P(X = x)\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{4}\)
Il valore \(1\) è più probabile perché si ottiene in due modi: TC e CT.
Il valore atteso DefinizioneValore atteso
Il valore atteso (o media, o speranza matematica) di \(X\) è la media dei valori pesata con le probabilità:
\[E(X) = \mu = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n\]
È il valore medio che si otterrebbe ripetendo l'esperimento moltissime volte. Non deve per forza essere uno dei valori possibili.
EsempioIl lancio di un dado
\[E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + \cdots + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5\]
Nessun lancio dà \(3{,}5\) ,
Giochi equi Un gioco è equo se il guadagno atteso è zero: in media nessuno dei giocatori ci guadagna.
EsempioConviene giocare?
Si pagano \(2\) euro per lanciare un dado; se esce \(6\) se ne vincono \(10\) .\(8\) con probabilità \(\frac{1}{6}\) e \(-2\) con probabilità \(\frac{5}{6}\) :
\[E = 8 \cdot \frac{1}{6} - 2 \cdot \frac{5}{6} = \frac{8 - 10}{6} = -\frac{1}{3}\]
In media si perdono circa \(33\) centesimi a partita: il gioco non è equo e favorisce chi lo organizza.
Varianza e scarto quadratico medio Come per i dati statistici, la varianza misura quanto i valori si disperdono attorno alla media.
RegolaVarianza di una variabile casuale
\[\operatorname{Var}(X) = \sigma^2 = \sum (x_i - \mu)^2 p_i = E(X^2) - \mu^2\]
Lo scarto quadratico medio è \(\sigma = \sqrt{\operatorname{Var}(X)}\) .
La seconda formula, "media dei quadrati meno quadrato della media", di solito è più comoda.
EsempioLa varianza del dado
\[E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}\]
\[\operatorname{Var}(X) = \frac{91}{6} - 3{,}5^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12} \approx 2{,}92 \qquad\qquad \sigma \approx 1{,}71\]
AttenzioneLe probabilità devono sommare \(1\)
Prima di calcolare media e varianza, controlla che la tabella sia davvero una distribuzione: probabilità tutte tra \(0\) e \(1\) e con somma \(1\) .
Esercizi Esercizio
\(X\) vale \(1\) ,\(2\) ,\(3\) con probabilità \(0{,}2\) ,\(0{,}5\) ,\(0{,}3\) .
Mostra Nascondi la soluzione\(E(X) = 0{,}2 + 1 + 0{,}9 = 2{,}1\) .
\(E(X^2) = 0{,}2 + 2 + 2{,}7 = 4{,}9\) , quindi \(\operatorname{Var}(X) = 4{,}9 - 4{,}41 = 0{,}49\) e \(\sigma = 0{,}7\) .
Esercizio
Una variabile casuale assume i valori \(1, 2, 3, 4\) con probabilità \(k\) ,\(2k\) ,\(3k\) ,\(4k\) .\(k\) e il valore atteso.
Mostra Nascondi la soluzione\(10k = 1\) ,\(k = 0{,}1\) .
\(E(X) = 1 \cdot 0{,}1 + 2 \cdot 0{,}2 + 3 \cdot 0{,}3 + 4 \cdot 0{,}4 = 3\) .
Esercizio
Una lotteria vende \(1000\) biglietti a \(5\) euro. Ci sono un premio da \(2000\) euro e due da \(500\) .
Mostra Nascondi la soluzioneVincita attesa: \(\frac{2000 + 2 \cdot 500}{1000} = 3\) euro. Tolto il prezzo del biglietto, il guadagno atteso è \(3 - 5 = -2\) euro.
Verifica veloce
Qual è il valore atteso del numero di teste in \(2\) lanci di una moneta?
A \(0{,}5\) B \(1\) C \(2\) D \(1{,}5\)
\(0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} = 1\) .
Verifica veloce
Un gioco si dice equo quando:
A si vince almeno metà delle volte B il guadagno atteso è zero C la varianza è zero D tutti i premi sono uguali
In media nessuno dei due giocatori guadagna.