Varianza, deviazione standard e quartili | Probabilità e statistica

Stessa media, dati diversi

Due classi hanno entrambe media $$7$$ . Nella prima tutti hanno preso $$6$$ , $$7$$ o $$8$$ ; nella seconda i voti vanno da $$3$$ a $$10$$ . La media non vede la differenza: servono gli indici di variabilità, che misurano quanto i dati sono dispersi.

Il campo di variazione

Il più semplice è il campo di variazione: valore massimo meno valore minimo. È facile da calcolare, ma dipende solo da due dati, magari eccezionali.

Varianza e scarto quadratico medio

L'idea è misurare quanto ogni dato si allontana dalla media, cioè il suo scarto $x_i - \bar{x}$ . Gli scarti però hanno somma zero (quelli positivi compensano i negativi), quindi si elevano al quadrato.

EsempioCalcolo passo per passo

Dati: $$2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$$ . Media: $\frac{40}{8} = 5$ .

$$x_i$$	$$2$$	$$4$$	$$4$$	$$4$$	$$5$$	$$5$$	$$7$$	$$9$$
$x_i - \bar{x}$	$$-3$$	$$-1$$	$$-1$$	$$-1$$	$$0$$	$$0$$	$$2$$	$$4$$
$(x_i - \bar{x})^2$	$$9$$	$$1$$	$$1$$	$$1$$	$$0$$	$$0$$	$$4$$	$$16$$

La somma dei quadrati è $$32$$ , quindi $\sigma^2 = \frac{32}{8} = 4$ e $\sigma = 2$ .

Il coefficiente di variazione

Per confrontare la variabilità di dati con medie molto diverse si usa il coefficiente di variazione:

CV = \frac{\sigma}{\bar{x}}

di solito espresso in percentuale.

Quartili e diagramma a scatola

I quartili dividono i dati ordinati in quattro parti uguali: $$Q_1$$ (primo quartile), $$Q_2$$ (la mediana), $$Q_3$$ (terzo quartile). La differenza interquartile $$Q_3 - Q_1$$ contiene la metà centrale dei dati ed è poco sensibile ai valori estremi.

Il diagramma a scatola (box plot) disegna una scatola da $$Q_1$$ a $$Q_3$$ , con una linea sulla mediana, e due "baffi" fino al minimo e al massimo.

Esercizi

Verifica veloce

Tutti i dati di un insieme sono uguali. Quanto vale lo scarto quadratico medio?

Verifica veloce

Quale indice contiene la metà centrale dei dati?

$\(x_i\)$	$\(2\)$	$\(4\)$	$\(4\)$	$\(4\)$	$\(5\)$	$\(5\)$	$\(7\)$	$\(9\)$
$x_i - \bar{x}$	$\(-3\)$	$\(-1\)$	$\(-1\)$	$\(-1\)$	$\(0\)$	$\(0\)$	$\(2\)$	$\(4\)$
$(x_i - \bar{x})^2$	$\(9\)$	$\(1\)$	$\(1\)$	$\(1\)$	$\(0\)$	$\(0\)$	$\(4\)$	$\(16\)$