Probabilità totale e teorema di Bayes | Probabilità e statistica

I diagrammi ad albero

Quando un esperimento si svolge in più fasi, un diagramma ad albero aiuta a non perdersi. Ogni ramo porta la probabilità di quella fase, condizionata a quanto successo prima.

La formula della probabilità totale

Due macchine producono pezzi: la macchina A produce il $60\%$ dei pezzi, con il $2\%$ di difettosi; la macchina B il $40\%$ , con il $5\%$ di difettosi. Che percentuale di pezzi è difettosa?

P(D) = P(A) \cdot P(D \mid A) + P(B) \cdot P(D \mid B) = 0{,}6 \cdot 0{,}02 + 0{,}4 \cdot 0{,}05 = 0{,}012 + 0{,}02 = 0{,}032

Il teorema di Bayes

Ora la domanda inversa: un pezzo è risultato difettoso. Qual è la probabilità che venga dalla macchina A?

P(A \mid D) = \frac{0{,}6 \cdot 0{,}02}{0{,}032} = \frac{0{,}012}{0{,}032} = 0{,}375

Anche se A produce più pezzi, solo il $37{,}5\%$ dei difettosi viene da lì: B sbaglia molto di più.

Il teorema di Bayes aggiorna una probabilità alla luce di un'informazione nuova: si parte da $$P(A) = 0{,}6$$ e, sapendo che il pezzo è difettoso, si arriva a $$0{,}375$$ .

Un esempio sorprendente: i test medici

Esercizi

Verifica veloce

In un diagramma ad albero, come si calcola la probabilità di un percorso?

Verifica veloce

Che cosa permette di calcolare il teorema di Bayes?