Riassumere con un numero Spesso si vuole un solo valore che rappresenti un insieme di dati: il voto "tipico" di una classe, lo stipendio "tipico" di un'azienda. Gli indici di posizione centrale fanno proprio questo.
DefinizioneMedia aritmetica
La media aritmetica di \(n\) dati \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) è la loro somma divisa per \(n\) :
\[\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}\]
EsempioUna media di voti
Voti \(6\) ,\(7\) ,\(8\) ,\(5\) ,\(9\) :\(\bar{x} = \frac{35}{5} = 7\) .
Da una tabella di frequenze, ogni valore si moltiplica per la sua frequenza:
\[\bar{x} = \frac{x_1 f_1 + x_2 f_2 + \cdots + x_k f_k}{f_1 + f_2 + \cdots + f_k}\]
EsempioMedia da una tabella
Numero di fratelli di \(20\) studenti: \(0\) (4 volte), \(1\) (9), \(2\) (5), \(3\) (2).
\[\bar{x} = \frac{0 \cdot 4 + 1 \cdot 9 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 2}{20} = \frac{25}{20} = 1{,}25\]
Quando i dati non hanno tutti la stessa importanza si usa la media ponderata : ogni dato ha un peso \(p\) .
\[\bar{x} = \frac{x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n}{p_1 + p_2 + \cdots + p_n}\]
EsempioVoti con pesi diversi
Un \(6\) in un'interrogazione breve (peso \(1\) ),\(8\) in una verifica (peso \(2\) )\(7\) in un compito importante (peso \(3\) ):
\[\bar{x} = \frac{6 \cdot 1 + 8 \cdot 2 + 7 \cdot 3}{1 + 2 + 3} = \frac{43}{6} \approx 7{,}17\]
EsempioDue mediane
\(3, 8, 5, 10, 4\) :\(3, 4, 5, 8, 10\) .\(5\) .
\(2, 4, 7, 9\) :\(4\) e \(7\) ,\(5{,}5\) .
La moda La moda è la modalità con la frequenza più alta. Può non essere unica, e si usa anche con i caratteri qualitativi (per esempio, il colore più scelto).
Quale scegliere? La media tiene conto di tutti i valori, ma per questo è sensibile ai valori estremi . La mediana no.
EsempioGli stipendi
In una piccola azienda gli stipendi mensili sono 1200, 1250, 1300, 1350 e 9000 euro (quello del titolare).
Media: \(\frac{14\,100}{5} = 2820\) euro. Mediana: \(1300\) euro.
Quattro persone su cinque guadagnano meno della metà della media: qui la mediana descrive meglio lo stipendio "tipico".
AttenzioneOrdinare prima della mediana
La mediana si trova solo dopo aver ordinato i dati. Il valore in mezzo alla lista non ordinata non significa niente.
Esercizi Esercizio
Calcola media, mediana e moda di \(12, 15, 18, 15, 20\) .
Mostra Nascondi la soluzioneMedia: \(\frac{80}{5} = 16\) .\(12, 15, 15, 18, 20\) ,\(15\) .\(15\) .
Esercizio
Hai preso \(6\) ,\(6{,}5\) e \(7{,}5\) .\(7\) ?
Mostra Nascondi la soluzione\[\frac{6 + 6{,}5 + 7{,}5 + x}{4} = 7 \quad \Rightarrow \quad 20 + x = 28 \quad \Rightarrow \quad x = 8\]
Esercizio
Trova la mediana di \(9, 2, 7, 4, 11, 5\) .
Mostra Nascondi la soluzioneOrdinati: \(2, 4, 5, 7, 9, 11\) .\(5\) e \(7\) :\(6\) .
Verifica veloce
Quale indice è meno influenzato da un valore molto più grande degli altri?
A la media aritmetica B la mediana C la somma D la media ponderata
La mediana dipende solo dall'ordine, non dall'entità dei valori estremi.
Verifica veloce
Qual è la moda di \(3, 5, 5, 7, 7, 7, 9\) ?
A \(5\) B \(7\) C \(6\) D \(9\)
Il \(7\) compare tre volte, più di ogni altro valore.